うさぎでもわかる微分方程式 Part15 ラプラス変換を用いた微分方程式・連立微分方程式の解き方
なので、両辺をラプラス変換すると、\[\begin\mathcal \left[ \frac - 4 \frac + 3y \right] & = \mathcal \left[ e^ \right] \\\mathcal \left[ f''(t) \right] - 4 \mathcal \left[ f'(t) \right] + 3 \mathcal \left[ f(t) \right] & = \mathcal \left[ e^ \right] \\s^2 F(s) - 4sF(s) + 3F(s) & = \frac\end\]となります。
ラプラス変換を用いることで、もとの微分方程式\[\frac - 4 \frac + 3y = e^ \\y(0) = 0, \ \ \ y'(0) = 0\]を\[s^2 F(s) - 4sF(s) + 3F(s) = \frac\]のような ただの方程式 に変換することができるのです！
微分方程式を求めるためには微積分が必要ですが、 ただの方程式であれば微積分なしに解くことが できます！
Step3. F(s)を求めるつぎに、(2)で出てきた \( F(s) \) の方程式から、\( F(s) \) を求めます。
Step4. あとはラプラス逆変換するだけ！方程式が求められても、最後にラプラス逆変換を行うことで、元の形 \( f(t) \) に戻してあげる必要があります。
- 微分方程式を立てる
- 微分方程式をラプラス変換し、\( F(s) \) に関する方程式へ
- \( F(s) \) を求める
- \( F(s) \) をラプラス逆変換し、\( y = f(t) \) に関する式へ
ように、途中でラプラス変換・ラプラス逆変換を挟むことで微積分の必要がなく、 簡単な代数計算だけで 微分方程式を求めることができるのです！
３．ラプラス変換を用いた連立微分方程式の解き方
例題2連立微分方程式\[\left\< \begin \frac = x + 2y + e^ \\ \frac = 2x + y + 2e^ \end\right.\]を初期条件 \( x(0) = 0 \), \( y(0) = 0 \) の下で解きなさい。
解説2 Step1. 連立微分方程式の立式 Step2. ラプラス変換を行い連立方程式に変形関数 \( x(t) \), \( y(t) \) のラプラス変換をそれぞれ \( X(s) \), \( Y(s) \) とおきます。
よって、それぞれの微分方程式\[\left\< \begin \frac = x + 2y + e^ \\ \frac = 2x + y + 2e^ \end\right.\]を両辺でラプラス変換すると、\[\left\< \begin s X(s) = X(s) + 2Y(s) + \frac \\ s Y(s) = 2X(s) + Y(s) + \frac \end\right. \]\[\left\< \begin (s-1) X(s) - 2Y(s) =\frac \\ -2X(s) + (s-1) Y(s) = \frac \end\right.\]となり、 ただの連立方程式 になりますね。
連立微分方程式であれば解くのは大変かもしれませんが、 ただの連立方程式であれば微分積分なしに解くことが できますね！
Step3. 連立方程式を解くここで、先程の連立方程式を行列を用いて表すと、\[\left( \begin (s-1) X(s) - 2Y(s) = \frac \\ -2X(s) + (s-1) Y(s) = \frac \end \right) \\\left( \begin s-1 & -2 \\ -2 & s-1 \end \right) \left( \begin X(s) \\ Y(s) \end \right) = \left( \begin \frac \\ \frac \end \right)\]と、\( A \vec = \vec \) の形に変形できますね。
ここで、\[\begin|A| & = \left| \begin s-1 & -2 \\ -2 & s-1 \end \right| \\ & = (s-1)^2 + 4\\ & = s^2 -2s - 3\\ & = (s-3)(s+1) \not = 0\end\]なので、行列 \( A \) に逆行列*3が存在しますね。
Step4. あとはラプラス逆変換するだけ！最後に \( X(s) \), \( Y(s) \) それぞれでラプラス逆変換を行い、\( x(t) \), \( y(t) \) を求める必要があります。
- 連立微分方程式を立てる
- 連立微分方程式をラプラス変換し、\( X(s) \), \( Y(s) \) に関する連立方程式へ
- 連立微分方程式を解き、\( X(s) \), \( Y(s) \) を求める
- \( X(s) \), \( Y(s) \) をラプラス逆変換し、\( x(t) \), \( y(t) \) に戻す
ことで、途中でラプラス変換・ラプラス逆変換を挟むことで 微積分をせずに代数計算だけで連立微分方程式も求めることができる のです！
４．練習問題
練習1微分方程式\[\frac - 3 \frac +2y = e^\]を初期条件 \( y(0) = 1 \), \( y'(0) = 1 \) の下で解きなさい。
練習2微分方程式\[\frac - 4 \frac + 4y = \sin 2t\]を初期条件 \( y(0) = 0 \), \( y'(0) = 0 \) の下で解きなさい。
練習3微分方程式\[\frac - 2 \frac + 2y = 2t\]を初期条件 \( y(0) = 0 \), \( y'(0) = 0 \) の下で解きなさい。
練習4つぎの連立微分方程式\[\left\< \begin \frac + 2y = 2 e^ \\ 2x + \frac = e^t \end\right.\]の解を初期条件 \( x(0) = 0 \), \( y(0) = 0 \) に基づいて解きなさい。
５．練習問題の答え
解答1解を \( y = f(t) \) をおき、両辺をラプラス変換する。
なので、両辺をラプラス変換すると、\[\begin\mathcal \left[ \frac - 3 \frac + 2y \right] & = \mathcal \left[ e^ \right] \\\mathcal \left[ f''(t) \right] - 3 \mathcal \left[ f'(t) \right] + 2 \mathcal \left[ f(t) \right] & = \mathcal \left[ e^t> \right] \\s^2 F(s) - s - 1 - 3 (sF(s) - 1) + 2F(s) & = \frac> \\s^2 F(s) - 3s F(s) + 2 F(s) & = \frac + s - 2\end\]となる。
解答2解を \( y = f(t) \) をおき、両辺をラプラス変換する。
なので、両辺をラプラス変換すると、\[\begin\mathcal \left[ \frac - 4 \frac + 4y \right] & = \mathcal \left[ \sin \textcolor t \right] \\\mathcal \left[ f''(t) \right] - 4 \mathcal \left[ f'(t) \right] + 4 \mathcal \left[ f(t) \right] & = \mathcal \left[ \sin \textcolor t \right] \\s^2 F(s) - 4s F(s) + 4 F(s) & = \frac< \textcolor >< s^2 + \textcolor^2 > \\s^2 F(s) - 4s F(s) + 4 F(s) & = \frac\end\]となる。
解答3解を \( y = f(t) \) をおき、両辺をラプラス変換する。
なので、両辺をラプラス変換すると、\[\begin\mathcal \left[ \frac - 2 \frac + 2y \right] & = 2 \mathcal \left[ t^< \textcolor > \right] \\\mathcal \left[ f''(t) \right] - 2 \mathcal \left[ f'(t) \right] + 2 \mathcal \left[ f(t) \right] & = 2 \mathcal \left[ t^< \color > \right] \\s^2 F(s) - 1 - 2s F(s) + 2 F(s) & = 2 \cdot \frac< \textcolor! >< s^< \textcolor + 1> > \\s^2 F(s) - 2s F(s) + 2 F(s) & = \frac + 1\end\]となる。
解答4関数 \( x(t) \), \( y(t) \) のラプラス変換をそれぞれ \( X(s) \), \( Y(s) \) とおく。
よって、それぞれの微分方程式\[\left\< \begin \frac + 2y = 2 e^ \\ 2x + \frac = e^t \end\right.\]を両辺でラプラス変換すると、\[\left\< \begin s X(s) + 2 Y(s) = \frac \\ 2 X(s) + s Y(s) = \frac \end\right. \\\]と連立方程式の形に変形することができる。
連立方程式を行列を用いて表すと、\[\left( \begin s & 2 \\ 2 & s \end \right) \left( \begin X(s) \\ Y(s) \end \right) = \left( \begin \frac \\ \frac \end \right)\]と、\( A \vec = \vec \) の形に変形できる。
ここで、\[\begin|A| & = \left| \begin s & 2 \\ 2 & s \end \right| \\ & = (s-1)^2 + 4\\ & = s^2 - 4\\ & = (s+2)(s-2) \not = 0\end\]なので、行列 \( A \) に逆行列が存在する。
６．さいごに
*1 : もし初期値がない微分方程式をラプラス変換で求めたいであれば、\( f(0) = C_1 \), \( f'(0) = C_2 \) のように任意定数を初期値としておくといいでしょう。計算が少しめんどくさいですが。
*2 : もし初期値がない連立微分方程式をラプラス変換で求めたいであれば、\( x(0) = C_1 \), \( y(0) = C_2 \) のように任意定数を初期値としておくといいでしょう。
*4 : 行列で表された連立方程式\[A \vec = \vec\]の解 \( \vec \) は\[\vec = A^ \vec\]で求められる。
公開日： 2020年5月2日 更新日： 2023年4月19日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 1週間で完成！ うさぎでもわかる確率分布と統計的な推測 3日目 確率密度関数 うさぎでもわかる微分方程式 Part08 未定係数法を用いた定数係数線形微分方程式の特殊解の求め方 うさぎでもわかる線形代数 第07羽 基底をジュースで考えよう！＋基底の交換 うさぎでもわかる解析 Part28 3重積分 うさぎでもわかる確率・統計 t分布のいろは③ 対応のある2標本の母平均検定 うさぎでもわかる微分方程式 Part05 2階線形微分方程式の基礎（解の構造・ロンスキアン） うさぎでもわかる配列と連結リスト うさぎでもわかる解析 Part23 2重積分の基礎・積分範囲の交換 うさぎでもわかる微分方程式 Part14 ラプラス変換のいろは うさぎでもわかるC言語における関数の作り方カテゴリー
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