うさぎでもわかる解析 Part23 2重積分の基礎・積分範囲の交換
領域 \( D \) が\[D = \< (x,y) \mid a \leqq x \leqq b, \ c \leqq y \leqq d \ \>\]と表されるとする\[\iint_D f(x,y) dxdy = \int^d_c \left( \int^b_a f(x,y) \ dx \right) \ dy\]もしくは\[\iint_D f(x,y) dxdy = \int^b_a \left( \int^d_c f(x,y) \ dy \right) \ dx\]を計算することで2重積分の値を求めることができる。（\( x \) と \( y \) の積分順序は 基本的には問われない 。ただし、 例外 があるので注意！！）
このように2重積分の領域を \( x \) 軸による積分、\( y \) 軸による積分の2つに分解することで積分結果を求めることができます。
図で表すと下のようになります。（※以降黄緑色で塗りつぶされた部分は積分領域 \( D \) を表します。）
イメージとしては、\( x \) 方向にまず積分することにより領域 \( D \) を千切りにし、さらに \( y \) 方向に積分することでさらに細かくする、と考えるとわかりやすいかと思います。
この積分区間の変数 \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) には 定数以外にも自分自身以外の積分変数であっても構いません *1。ただし、（自分自身以外の）積分変数を入れる場合、 必ず変数が入っている方を先に 積分してください*2。（1つあとの章の例題でも説明します。）
また、\( f(x,y) \) が \( x \) だけの関数 \( g(x) \) および \( y \) だけの関数 \( h(y) \) に分解できる場合は以下のように計算しても構いません。
領域 \( D \) が\[D = \< (x,y) \mid a \leqq x \leqq b, \ c \leqq y \leqq d \ \>\]と表されるとする。このとき、\( f(x,y) \) が \( x \) だけの関数 \( g(x) \) および \( y \) だけの関数 \( h(y) \) に分解できるとき、\[\iint_D f(x,y) dxdy = \int^b_a g(x) \ dx \times \int^d_c h(y) \ dy\]と計算してもOK。
(2) 定数倍の分離 2重積分の定数倍の分離2重積分の定数 \( k \) を\[\iint_D k f(x,y) \ dxdy = k \iint_D f(x,y) \ dxdy\]と \( k \) を出すことができる。
例えば、\[\iint_D 4x^2 + 2y^2 \ dxdy = 2 \iint_D 2x^2 + y^2 \ dxdy\]のように適用することができます。
(3) 和（差）の分離 2重積分の定数倍の分離2つの和で表された2重積分を\[\iint_D f(x,y) + g(x,y) \ dxdy = \iint_D f(x,y) \ dxdy + \iint_D g(x,y) \ dxdy\]と2つに分割することができる。
例えば、\[\iint_D 4x^2 + 2y^2 \ dxdy = \iint_D 4x^2 \ dxdy + \iint_D 2y^2 \ dxdy\]のように適用することができます。さらに(1)と組み合わせると\[\iint_D 4x^2 + 2y^2 \ dxdy = 4 \iint_D x^2 \ dxdy + 2 \iint_D y^2 \ dxdy\]とすることもできます。
(4) 領域の分割 2重積分の定数倍の分離領域 \( D \) が境界線以外に共通部分を持たない2つの領域 \( D_1 \), \( D_2 \) に分解されるとする。このとき、\[\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_ f(x,y) \ dxdy + \iint_ f(x,y) \ dxdy\]と2つに分配することができる。
1変数関数の積分区間の分割\[\int^c_a f(x) \ dx = \int^b_a f(x) \ dx + \int^c_b f(x) \ dx\]を2変数に拡張したもんだと思ってもらってOKです。
３．2重積分の例・基本パターン
(1) 積分領域に変数 x,y が含まれない場合（長方形）まずは2重積分の中でも最も基本的な、積分範囲に \( x \), \( y \) が含まないパターンの2重積分の求め方を例題を踏まえながら説明していきたいと思います。
このパターンの場合、\( x \), \( y \) どちらから先に積分しても答えを出すことができます。計算しやすい方で計算をしましょう。
例題1 解説1今回の積分領域 \( D \) を見てみると \( x \), \( y \) ともに定数となっていますね。
なので \( x \) 方向から積分しても \( y \) 方向から積分してもどちらでもOKですね。
(a) \( x \) から先に積分する場合
\( x \) を先に積分する場合、\[\iint_D x^2 + y^2 \ dxdy = \int^1_0 \left( \int^2_1 x^2 + y^2 \ dx \right) \ dy\]を計算すればよい。
\[\begin\int^2_1 x^2 + y^2 \ dx & = \left[ \frac x^3 + xy^2 \right]^2_1\\ & = \frac + 2y^2 - \left( \frac + y^2 \right)\\ & = \frac + y^2\end \]より、\[\begin &\int^1_0 \left( \int^2_1 x^2 + y^2 \ dx \right) \ dy\\ = & \int^1_0 \frac + y^2 \ dy\\ = & \left[ \frac y + \frac y^3 \right]^1_0\\ = & \ \frac + \frac\\ = & \ \frac\end \]となる。
(b) \( y \) から先に積分する場合
\( x \) を先に積分する場合、\[\int_D x^2 + y^2 \ dxdy = \int^2_1 \left( \int^1_0 x^2 + y^2 \ dy \right) \ dx\]を計算すればよい。
\[\begin\int^1_0 x^2 + y^2 \ dy & = \left[ yx^2 + \frac y^3 \right]^1_0\\ & = x^2 + \frac\end \]より、\[\begin &\int^2_1 \left( \int^1_0 x^2 + y^2 \ dy \right) \ dx\\ = & \int^2_1 x^2 + \frac \ dx\\ = & \left[ \frac x^3 + \frac x \right]^2_1\\ = & \ \frac + \frac - \left( \frac - \frac \right)\\ = & \ \frac\end \]となる。
このように積分範囲に積分する変数（今回は \( x,y \) ）が範囲に含まれていない場合は \( x \), \( y \) どちらから積分しても答えを得ることができます。
(2) 積分領域に変数 x,y が含まれる場合しかし、積分範囲に積分する変数が含まれている場合、 先に変数が含まれている方を積分する必要があります 。
例題2 解説2\( y \) の積分範囲（ \( 0 \leqq y \leqq x \) ）を見てみると、積分区間に積分変数である \( x \) が含まれていますね。
なので、必ず \( y \) から積分しなければなりません。なので、\[\iint_D e^ \ dxdy = \int^1_0 \left( \int^x_0 e^ \ dy \right) \ dx\]を計算すればよい。
\[\begin\int^x_0 e^ \ dy & = \left[ - e^ \right]^x_0\\ & = - e^x + e^\end \]より、\[\begin &\int^1_0 \left( \int^x_0 e^ \ dy \right) \ dx\\ = & \int^1_0 e^ - e^x \ dx\\ = & \left[ \frac e^ - e^x \right]^1_0\\ = & \ \frac e^2 - e - \left( \frac - 1 \right)\\ = & \ \frac e^2 - e + \frac\\ = & \ \frac (e-1)^2\end \]となる。
４．積分順序の交換
しかし、中には先に変数が含まれている方を先に積分しようとしてもできない or 非常に複雑な計算が必要な二重積分があります。
例題3 解説3\( y \) の積分範囲（ \( x^2 \leqq y \leqq 1 \) ）に積分区間に積分変数である \( x \) が含まれています。
なので必ず \( y \) から積分する必要があります。しかし\[\int e^ \ dy\]を積分することはできません。
なので、\( x \) から先に積分できるように積分順序を入れ替えてみましょう。
今回は \( x \) から先に積分したいため、\( x \) の積分範囲を \( y \) を用いて表し、\( y \) の積分範囲は定数で表すようにします。
あとは積分計算するだけです。ここで、\[\begin\int^>_0 x e^ \ dx & = \left[ \frac x^2 e^ \right]^>_0\\ & = \frac y e^\end \]と計算できるので、積分結果は\[\begin &\int^1_0 \left( \int^>_0 x e^ \ dx \right) \ dy\\ = & \int^1_0 \frac y e^ \ dy\\ = & \ \frac \int^1_0 2 y e^ \ dy\\ = & \ \frac \left[ e^ \right]^1_0\\ = & \ \frac e - \frac\end \]となる。
５．練習問題
練習1 練習2 練習3つぎの2重積分\[\int^1_0 \left( \int^_ f(x,y) \ dy \right) \ dx\]の積分順序を交換しなさい。
練習4つぎの重積分\[\iint_D \sin x \sin^3 y \ dxdy \]\[ D = \< (x,y) \mid 0 \leqq x \leqq \frac, \ 0 \leqq y \leqq x \ \>\]を計算しなさい。
６．練習問題の答え
解答1今回は \( x \) から積分するバージョンでやってみます。よって、\[\iint_D \sin (x+y) \ dxdy = \int^< \frac >_0 \left( \int^< \frac >_0 \sin (x+y) \ dx \right) \ dy\]を計算すればOK。
解答2\( y \) の積分範囲（ \( x \leqq y \leqq 3x \) ）を見てみると、積分区間に積分変数である \( x \) が含まれていますね。
なので、必ず \( y \) から積分しなければなりません。なので、\[\iint_D (y-x)^3 \ dxdy = \int^2_0 \left( \int^_ (y-x)^3 \ dy \right) \ dx\]を計算すればよい。
解答3今回の場合は \( 0 \leqq x \leqq 1 \) における \( y = x^2 \) および \( y = x \) の囲まれた部分になりますね。
積分順序を交換するためには、\( y \) を定数範囲で（ \( 0 \leqq y \leqq 1 \) ）で表した際に \( x \) の積分範囲が \( y \) を用いてどう表されるかを考えればいいですね。
よって、\[\int^1_0 \left( \int^>_ f(x,y) \ dx \right) \ dy\]となります。
解答4\( y \) の積分範囲に \( x \) が含まれているため \( y \) から先に積分しなければならない。しかし、\( \sin^3 y \) の積分は少ししんどいですね（3倍角の公式を使えばできないことはないが…）。
よって、\[\iint_D \sin x \sin^3 y \ dxdy = \int^_0 \left( \int^_y \sin x \sin^3 y \ dx \right) \ dy\]を計算すればよい。
ここで \[\begin\int^_y \sin x \sin^3 y \ dx & = \sin^3 y \left[ - \cos x \right]^_y\\ & = \sin^3 y \cos y\end \]より、\[\begin &\int^_0 \left( \int^_y \sin x \sin^3 y \ dx \right) \ dy\\ = & \int^_0 \sin^3 y \cos y \ dy\end \]となる。
ここで \( \sin y = t \) とおくと、
となるので、\[\begin &\int^_0 \sin^3 y \cos y \ dy\\ = & \int^1_0 t^3 \ dt\\ = & \left[ \frac t^4 \right]^1_0\\ = & \ \frac\end \]と計算できる。
７．さいごに
*1 : 例えば\[ \int^x_0 f(x,y) \ dy\]はOK。だが、\[ \int^y_0 f(x,y) \ dy \]は自分自身の積分変数 \( y \) が入っているからNG。
*2 : \( x \), \( y \) の積分範囲ともに定数の場合、 積分領域は必ず長方形 になるので積分領域が長方形の場合は積分順序関係なしに積分できる、と考えても構いません。
*3 : 今回の場合、\( y \) の積分範囲 \( 0 \leqq y \leqq 1 \) に対し、\( x \) の積分範囲を \( y \) を用いてどう表されるかを考えればOK。あとから積分する方が必ず定数範囲の積分となることを忘れずに。
*4 : \( y \geqq 0 \) なので \( x = - \sqrt \) は考えていない
公開日： 2019年9月22日 更新日： 2022年8月11日 この記事を書いた人 コメント一覧 課題に追われてる人 2021-05-09 18:01:12 返信 練習2のパターンの解説が教科書に無くて困っていたのでとても助かりました。ありがとうございました。 関連記事 うさぎでもわかる解析 Part03 n次導関数・ライプニッツの公式 【確率】1時間でマスター！ 覚えておくべき5つの法則・公式 うさぎでもわかる離散数学（グラフ理論） 第17羽 マッチング うさぎでもわかる計算機システム Part09 組み合わせ回路・順序回路 うさぎでもわかる微分方程式 Part00 微分方程式ってなに？ 【基本情報対策】うさぎでもわかるソフトウェア工学 Part08 UML後編（シーケンス図・ユースケース図・アクティビティ図） うさぎでもわかるコンパイラ 第4羽 左再帰の除去 うさぎでもわかるソーティング 応用ソート編 クイックソート・マージソート・シェルソート・ヒープソート うさぎでもわかる解析 Part22 陰関数の極値 うさぎでもわかる解析 Part24 変数変換を用いた2重積分の求め方・ヤコビアンカテゴリー
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