うさぎでもわかる微分方程式 Part14 ラプラス変換のいろは
定義域が \( 0 \leqq t \lt \infty \) のある関数 \( f(t) \)（時間関数と呼ばれることが多いです）に対し、\[\beginF(s) & = \int^_ f(t) e^ \ dt\\ & = \lim_ \int^_ f(t) e^ \ dt\end\]の広義積分の形で表される \( s \) の関数 \( F(s) \) のことを、 \( f(t) \) のラプラス変換 と呼び、\( \mathcal[f(t)] \) と表記します。
（変数 \( s \) は複素数範囲で考えるのが基本ですが、実数範囲として考えている参考書もあります。今回は実数範囲として考えたあと、複素数範囲でも考えていきましょう*1。）
また、ラプラス変換を行う元の関数 \( f(t) \) のことを 原関数 、ラプラス変換後の関数 \( F(s) \) のことを 像関数 と呼び、 1対1に対応 しています。
ラプラス変換が\[\int^_ e^ \ dt\]の形で定義されている理由としては、関数 \( e^ \) が下の図のように \( t \) を大きくすればするほど0に収束する関数となっているからです。
また、積分範囲を実数全体 \( - \infty \lt t \lt \infty \) にしてしまうと \( e^ \) が \( t \to - \infty \) のときに発散してしまうため、積分範囲を 0を含む正の実数に限定して 定義されています。
（\( s = 0 \) であれば分母が0に、\( s \lt 0 \) であれば無限大に発散）
（なお、これ以降出てくるすべてのラプラス変換の定義域は \( s \) の部分を \( \mathrm (s) \gt 0 \) に変えれば複素数範囲でも成立します。）
例題1つぎの(1), (2)で表される関数 \( f(t) \) のラプラス変換 \( \mathcal[f(t)] \) を求めなさい。（\( s \) の収束領域も求めること）
解説1なお、\( s \) が複素数の場合の収束領域は(1)と同じように計算することで収束領域は \( \mathrm (s) \gt 0 \) となる。
収束領域については、実際にラプラス変換（逆変換も）を計算する際に 気にする必要は基本的にはありません 。（問題文で聞かれたら別ですが…）
２．ラプラス逆変換
ラプラス変換を行う前の関数である原関数 \( f(t) \) とラプラス変換を行った後の関数である像関数 \( F(x) \) は 1対1に対応している のでしたね。
1対1に対応していることを利用することで、ラプラス変換後の関数 \( F(s) \) からラプラス変換前の関数 \( f(t) \) に戻すラプラス逆変換 \( \mathcal^ \) が定義されます。
先程、\( f(t) = 1 \) をラプラス変換した結果が \( F(s) = \frac \) であることを確認しましたね。
ラプラス変換前・変換後の関数は1対1の関係にあるため、\( F(s) = \frac \) をラプラス逆変換した結果は\[\beginf(t) & = \mathcal^ \left[ \frac \right]\\ & = 1\end\]と求めることができます。
３．重要なラプラス変換の4つの法則
その1 線形の法則 ラプラス変換における線形の法則(1) 足し算（引き算もOK）の分離ができる\[\mathcal[f(t)+g(t)] = \mathcal[f(t)] + \mathcal[g(t)]\]
(2) 定数倍の分離ができる\[\mathcal[k \ f(t)] = k \mathcal[f(t)]\]
※ 2つ合わせて\[\mathcal[a \ f(t)+b \ g(t)] = a \mathcal[f(t)] + b \mathcal[g(t)]\]と書いてある参考書が多い。
積分計算と同じように 定数倍・足し算（引き算）を分離 できるという法則です！
ラプラス変換の線形性を用いることで、例えば \( f(t) = 2t + 3 \) のラプラス変換を、\[\mathcal[2t+3] = 2 \mathcal[t] + 3 \mathcal[1]\]のように計算することができます。
2つまとめた形が成り立つことを示しちゃいましょう。\[\begin\mathcal[a \ f(t)+b \ g(t)] & = \int^_ \left( a \ f(t) + b \ g(t) \right) e^ \ dt\\ & = \int^_ a \ f(t) e^ \ dt + \int^_ b \ g(t) e^ \ dt\\ & = a \int^_ f(t) e^ \ dt + b \int^_ g(t) e^ \ dt\\ & = a \int^_ f(t) e^ \ dt + b \int^_ g(t) e^ \ dt\\ & = a \mathcal[f(t)] + b \mathcal[g(t)]\end\]よって、線形性が成り立つことが示されました。
逆変換でも線形の法則は成り立つ！また、ラプラス逆変換であっても、\[\mathcal^[a \ f(t)+b \ g(t)] = a \mathcal^[f(t)] + b \mathcal^[g(t)]\]と、定数倍・足し算を分離することができます。
ラプラス逆変換における線形の法則※ 2つ合わせて\[\mathcal^[a \ f(t)+b \ g(t)] = a \mathcal^[f(t)] + b \mathcal^[g(t)]\]と書いてある参考書が多い。
その2 微分の法則 ラプラス変換における微分の法則\[\begin\mathcal[f'(t)] & = s F(s) - f(0) \\\mathcal[f''(t)] & = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \\\mathcal[f'''(t)] & = s^3 F(s) - s^2 f(0) - s f'(0) - f''(0) \\\mathcal[f^(t)] & = s^n F(s) - s^ f(0) - s^ f'(0) - \cdots - f^ (0)\end\]
2階微分 \( f''(t) \) まで証明してみましょう。
\[\begin\mathcal[f''(t)] & = \mathcal[\left( f'(t) \right)']\\ & = s \mathcal[f'(t)] - f'(0)\\ & = s \left( sF(s) - f(0) \right) - f'(0)\\ & = s^2 F(s) - s \ f(0) - f'(0)\end\]と変形することで示すことができます。
その3 移動の法則\( e^ f(t) \) の形をしたラプラス変換を求める際に使う法則です。
ラプラス変換における移動の法則ラプラス変換の元が \( e^ \) 倍されたら、結果の \( s \) の部分が \( s-a \) になると覚えましょう！
- その1：線形の法則
- その2：微分の法則
- その3：移動の法則
\( at = u \) とおく。すると、\( a \ dt = du \), \( dt = \frac du \) となる。
４．代表的なラプラス変換の導出
ここからは、よく出てくる関数のラプラス変換を定義\[\begin\mathcal[f(t)] & = \int^_ f(t) e^ \ dt\end\]に従って求めていきたいと思います。
(1) べき関数 t^n のラプラス変換第1章で \( t \), \( t^2 \) のラプラスを計算しました。
では、\( t^n \) のラプラス変換はどうなるでしょうか。
例題20以上の整数 \( n \) に対し、ラプラス変換 \( \mathcal[t^n] \) を求めたい。
(1) \( n = 0 \) のときのラプラス変換、つまり \( \mathcal[1] \) を求めなさい。(2) \( \mathcal[t^n] \) を \( \mathcal[t^] \) を用いて表しなさい。(3) \( \mathcal[t^n] \) を求めなさい。
解説2（ただし、収束範囲は \( s \) が実数なら \( s \gt 0 \)、複素数なら \( \mathrm (s) \gt 0 \) が条件）
(1), (2)より\[\begin\mathcal[t^n] & = \frac \mathcal[t^]\\ & = \frac \times \frac \mathcal[t^]\\ & = \frac \times \frac \times \frac \mathcal[t^]\\ & = \frac \times \frac \times \frac \times \cdots \times \frac \mathcal[t^1]\\ & = \frac \times \frac \times \frac \times \cdots \times \frac \times \frac \mathcal[t^0]\\ & = \frac \times \frac \times \frac \times \cdots \times \frac \times \frac \times \frac\\ & = \frac < s^>\end\]と計算することができる。
べき関数 t^n のラプラス変換 (2) 指数関数 e^at のラプラス変換つぎに指数関数 \( e^ \) のラプラス変換 \( \mathcal[e^] \) を求めてみましょう。（\( a \) は実数としましょう）
例題2関数 \( f(t) = e^ \) のラプラス変換 \( \mathcal[e^] \) を求めなさい。（\( s \) の収束領域も求めること）
解説2（収束領域：\( s \) が実数なら \( s \gt a \)、複素数なら \( \mathrm (s) \gt a \)）
指数関数 e^at のラプラス変換 (3) 三角関数 sin(at), cos(at) のラプラス変換つぎに三角関数のラプラス変換\[\mathcal[\sin at], \ \ \ \mathcal[\cos at]\]を求めてみましょう。
三角関数のラプラス変換 (4) 双曲線関数 sinh(at), cosh(at) のラプラス変換最後に双曲線関数のラプラス変換\[\mathcal[\sinh at], \ \ \ \mathcal[\cosh at]\]を求めてみましょう。
- \( e^ \) のラプラス変換の収束領域：\( s \gt a \)
- \( e^ \) のラプラス変換の収束領域：\( s \gt -a \)
の2つをともに満たす必要があるため、\( s \gt |a| \)（複素数範囲：\( \mathrm (s) \gt |a| \)）と求めることができます。
双曲線関数のラプラス変換５．覚えるべき法則・公式
(1) 重要な3法則 (2) 重要な変換公式ラプラス変換・逆変換を単に求める場合、および微分方程式に利用する場合は 収束領域を頭にいれておく必要はありません 。
- べき関数 \( t^n \)
- 指数関数 \( e^ \)
- 三角関数 \( \sin bt \), \( \cos bt \)
- 移動の法則
- （双曲線関数 \( \sinh bt \), \( \cosh bt \)）
- \( e^ t^n \)
- \( e^ \sin bt \)
- \( e^ \cos bt \)
（\( a = 0 \) や \( n = 0 \) を代入することで残りの公式が導出できる）
(2) ラプラス変換表について実際にラプラス変換、逆変換を用いる際には、ある関数 \( f(t) \) と、ラプラス変換後の関数 \( F(s) \) の対応が書かれたラプラス変換表を使って行うことも多いです。ラプラス変換の公式
６．公式を用いたラプラス変換・逆変換の求め方
例題3 ラプラス変換つぎの(1)～(5)のラプラス変換 \( \mathcal[f(t)] \) を計算しなさい。
解説3 復習 部分分数分解 ※部分分数分解に自信ある人も要注意！！ 例題4 ラプラス逆変換つぎの(1)～(5)のラプラス逆変換 \( \mathcal^[F(s)] \) を計算しなさい。
解説4７．さいごに
*1 : まだ複素関数についてよくわかっていない人は \( s \) と実数範囲と仮定してもOKです。\( s \) が実数範囲・複素数範囲で変わるのは収束領域だけで、ラプラス変換自体の値は変化しません。
公開日： 2020年5月1日 更新日： 2023年4月19日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 【基本情報対策】うさぎでもわかるソフトウェア工学 Part04 構造化分析とDFD（レシピをDFDで書いてみよう） うさぎでもわかる線形代数 第05羽 行列式 確率統計分野で頻出な確率分布 離散型確率分布編 うさぎでもわかる解析 Part25 極座標変換を用いた2重積分の求め方 うさぎでもわかる解析 補充編1-1 双曲線関数のいろは うさぎでもわかる線形代数 補充2 平面・空間上における直線の方程式（ベクトル方程式の基礎） うさぎでもわかる線形代数 第07羽 基底をジュースで考えよう！＋基底の交換 離散数学 関数の個数の数え上げ猛特訓（解説付き） うさぎでもわかる微分方程式 Part13 微分演算子を用いた特殊解の求め方 うさぎでもわかる微分方程式 Part15 ラプラス変換を用いた微分方程式・連立微分方程式の解き方カテゴリー
各種便利ツール・問い合わせ- 【完全無料】離散数学演習ツール・計算機まとめ
- 【ハッセ図】上界/下界・最大元/最小元・極大元/極小元・上限(最小上界)/下限(最大下界) 判定ツール
- 【ハッセ図】述語論理（∀・∃）真偽判定ツール
- 【離散数学】べき集合 2^A・P(A) 自動計算＆全列挙ツール
- 【離散数学】真理値表 自動作成ツール（途中式あり）
- 【離散数学】集合の「∈・⊆」真偽チェッカー（答え合わせ用）
- 【離散数学テスト対策】真理値表の穴埋めガチ演習ツール
- 【離散数学テスト対策】集合の「∈・⊆」ガチ演習！ 弱点分析つき○×ドリル
- ももうさ神社
目次
工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)