うさぎでもわかる解析 Part03 n次導関数・ライプニッツの公式
関数 \( f(x) \), \( g(x) \) の積 \( f(x)g(x) \) の \( n \) 次導関数 \( (f g)^ \) は\[\begin(fg)^ & = \sum_^n _n \mathrm _k f^ g^ \\ & =_n \mathrm _0 f g^ + _n \mathrm _1 f' g^ + \cdots + _n + _n \mathrm _ f^ g' + _n \mathrm _ f^ g\end\]
例えば \( n = 2 \) 、2回微分のときは \[ \left( f(x) g(x) \right)'' = f''(x) g(x) + 2 f'(x) g'(x) + f(x) g''(x) \] となります。
- 関数を 有限回の微分で消滅するもの \( f(x) \) と 何回微分しても消滅しないもの \( g(x) \) の2つにわける。
- 有限回の微分で消滅する \( f(x) \) は、 何次の微分まで項が残っているか*1 を確認する。
- 何回微分しても消滅しない \( g(x) \) の \( n \) 次導関数を求める。
- \( f(x) \) の項が残っている範囲でライプニッツの定理を適用する。（\( f(x) \) の項が消滅して0になる部分は \( f(x)g(x) \) の積も0なので無視できる）
\( y = x^2 e^ \) の \( n \) 次導関数を求めなさい。
解説2\( f(x) = x^2 \), \( g(x) = e^ \) とする。\( f'(x) = 2x \), \( f''(x) = 2 \) となる。3回微分以降は0になるまでので、２回微分までの計算でよい。
また、\( g(x) \) の \( n \) 次導関数は何回か微分していくと \( 2^n e^ \) とわかる。
あとはライプニッツの定理を適用するだけ。3次以降が0のため、2次までの計算でよい。\[\begin \frac = & _n \mathrm _0 \cdot x^2 \left(2^n e^ \right) + _n \mathrm _1 \cdot 2x \left(2^ e^ \right) + _n \mathrm _2 \cdot 2 \left(2^ e^ \right) \\ = & 2^ e^ \left(4 x^2 + 4 n x + n(n-1) \right)\end \]と計算できる*2。
４．練習問題
練習1つぎの関数の \( n \) 次導関数を求めなさい。証明はしなくてもよい。
練習2\( y = \sin x \) の \( n \) 次導関数が \[ \frac = \sin \left(x + \frac \pi \right)\] になることを数学的帰納法を用いて証明しなさい。
練習3次の \( n \) 次導関数を求めなさい。ただし、必要ならば練習2の結果を用いてもよい。証明はしなくてもよい。
(3) \[ y = \sin x \cos x \]
５．練習問題の答え
解答1何回か微分して \( n \) 次導関数の項を予測する。
\( y = (1-x)^ \) とすると計算がしやすくなる。
よって \( n \) 次導関数は \[ y^ = n! \]となる。
\( 3^x \) の微分は対数微分法を用いる。\[ \log y = x \log 3 \\ \frac = \log 3 \\ y = 3^x \cdot \log 3 \]と微分できる。\[y' =3^x \cdot \log 3 \\ y'' = 3^x \left( \log 3 \right)^2 \\ y''' =3^x \left( \log 3 \right)^3 \]となるので \( n \) 次導関数は \[ y^ = 3^x\left( \log 3 \right)^n \] となる。
あとは \( \frac \)（(1)で計算済） と \( \frac \) の \( n \) 次導関数を別々に求めればよい。
\( \frac \) の \( n \) 次導関数を求める。
\( y = (2-x)^ \) とすると計算がしやすくなる。
解答2(i) \( n = 1 \) のとき、\[ y' = \sin \left(x + \frac \pi \right) = \sin x \cos \frac + \cos x \sin \frac = \cos x\]となり、(i)は成立。
(ii) \( n = k \) のとき、\[ y^ = \sin \left(x + \frac \pi \right)\]が成立すると仮定。
\( n = k + 1 \) のとき、\[ y^ = \sin \left(x + \frac \pi \right)\]が成立することを示せばよい。
\[ \begin y^ = \left( y^ \right)'& = \left(\sin \left(x + \frac \pi \right) \right)' \\ & = \cos \left(x + \frac \pi \right) \\ & =\sin \left(x + \frac \pi + \frac \right) \\ & =\sin \left(x + \frac \pi \right)\end \]となり、(ii)も成立。
解答3(1) \( f(x) = x \), \( g(x) = \log x \) とする。
\( f'(x) = 1 \)、2回以上の微分で \( f(x) \) の項は0になるので、１回微分までを考えればよい。
また、\( g(x) = \log x \) を何回も微分すると、\[ g'(x) = \frac = x^ \\ g''(x) = - x^ \\ g'''(x) = -2x^ \\ g^(x) = 6 x^ \]となる。
(2) \( f(x) = x^3 \), \( g(x) = \sin x \) とする。
\( f'(x) = 3x^2 \), \( f''(x) = 6x \), \( f'''(x) = 6 \) となる。4次以上の微分で項が0になるまで、3次までを考えればよい。
また、\( g(x) \) の \( n \) 次導関数は \[ g^(x) = \sin \left( x + \frac \pi \right) \]なので、(2)の導関数は、\[\begin \frac = & _n \mathrm _0 \cdot x^3 \left( \sin \left( x + \frac \pi \right) \right) + _n \mathrm _1 \cdot 3x^2 \left( \sin \left( x + \frac \pi \right) \right) \\ + & _n \mathrm _2 \cdot 6x \left( \sin \left( x + \frac \pi \right) \right) + _n \mathrm _3 \cdot 6 \left( \sin \left( x + \frac \pi \right) \right)\\ = &x^3 \left( \sin \left( x + \frac \pi \right) \right) + 3 n x^2 \left( \sin \left( x + \frac \pi \right) \right) \\ + & 3n (n-1) x \left( \sin \left( x + \frac \pi \right) \right) + n(n-1)(n-2) \left( \sin \left( x + \frac \pi \right) \right)\end \]となる。
(3) 一見ライプニッツを使うように見えるが、実は倍角の公式を使うことでかなり簡単に \( n \) 次導関数を求めることができる。
\[ \sin x \cos x = \frac \sin 2x \] なので、これを何回か微分をする。
\( y' = \cos 2x \), \( y'' = 2 \sin 2x \), \( y''' = 4 \cos 2x \) となる。また、練習2の結果より \( n \) 次導関数は、\[ 2^ \sin \left(2x + \frac \pi \right) \]となる。
６．さいごに
今回は、\( n \) 次導関数の求め方、およびライプニッツの公式についてのまとめ、および練習問題のまとめをしました。
また、ライプニッツの公式は 有限回の微分で0になる \( f(x) \) と 無限回微分しても0にならない \( g(x) \) にわけることがポイントとなります。
*1 : 何回微分したら0になるかの確認のこと。例えば \( x^5 \) だと、5回微分で120となり、これを微分すると0になる。つまり5次の微分まで項が残っていることがわかる。
*2 : \( _n \mathrm _1 \), \( _n \mathrm _2 \), \( _n \mathrm _3 \) の計算はそれぞれ\[_n \mathrm _1 = n , \ \ _n \mathrm _2 = \frac, \ \ _n \mathrm _3 = \frac \]となる。
*3 : 奇数回微分したとき正、偶数回微分したとき負というのは、\( (-1)^ \) もしくは \( (-1)^ \) と表すことができる。
公開日： 2019年7月1日 更新日： 2021年8月10日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 （試験頻出!!）文字が入っている行列の階数の求め方 うさぎでもわかる解析（高校数学・数3） Part05 部分分数分解を用いた積分 【基本情報対策】うさぎでもわかるデータベース 第03羽 SQL前編（select文の使い方とその応用） うさぎでもわかる確率・統計 t分布のいろは④ 対応のない2標本の母平均検定 うさぎでもわかるC言語のポインタ講座 うさぎでもわかる離散数学 番外編2 差分方程式（漸化式） 前編 うさぎでもわかる解析 補充編1-3 逆双曲線関数（双曲線関数の逆関数） うさぎでもわかる解析 Part15 合成関数の偏微分 うさぎでもわかる計算機システム Part05 論理回路の基本編 [基本情報対応] うさぎでもわかる論理回路 カルノー図編カテゴリー
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