J.J.トムソンによる比電荷の測定と電子の発見
Δ x = x 1 + x 2 = 1 2 ⋅ e E m ⋅ ( l v 0 ) 2 + e E m ⋅ l v 0 ⋅ L − l 2 v 0 = e E m ( 1 2 ⋅ ( l v 0 ) 2 + l v 0 ⋅ L − l 2 v 0 ) = e E m ( 1 2 ⋅ ( l v 0 ) 2 + l v 0 ⋅ L v 0 − 1 2 ⋅ ( l v 0 ) 2 ) = e E m ( l v 0 ⋅ L v 0 ) = e E m ( l L v 0 2 ) \begin \Delta x &= x_1 + x_2 \\ &=\dfrac \cdot\dfrac \cdot\left(\dfrac\right)^2 + \dfrac\cdot \dfrac\cdot\dfrac< L- \dfrac> \\ & = \dfrac \\ & = \dfrac \\ & = \dfrac \\ & = \dfrac \\ \end Δ x = x 1 + x 2 = 2 1 ⋅ m e E ⋅ ( v 0 l ) 2 + m e E ⋅ v 0 l ⋅ v 0 L − 2 l = m e E ⎝
⎛ 2 1 ⋅ ( v 0 l ) 2 + v 0 l ⋅ v 0 L − 2 l ⎠
⎞ = m e E ( 2 1 ⋅ ( v 0 l ) 2 + v 0 l ⋅ v 0 L − 2 1 ⋅ ( v 0 l ) 2 ) = m e E ( v 0 l ⋅ v 0 L ) = m e E ( v 0 2 l L )
最後に, 左辺を比電荷 e m \dfrac m e の形を目指して式変形すると, 以下のようになります。
e m = v 0 2 E l L ⋅ Δ x \dfrac = \dfrac \cdot \Delta x m e = El L v 0 2 ⋅ Δ x
この式において, v 0 v_0 v 0 は未知数です。 v 0 v_0 v 0 は電子が持つz方向への初速度です。この値を求めるために, 電子の磁場による影響を調べます。
磁場による電子の運動(y方向)磁場は紙面手前から奥へ印加しています。磁場により電子はフレミングの左手の法則に従う向きにローレンツ力を受けます。すると, 領域①内では, 電子は円運動をします。
領域①：ローレンツ力による円運動領域①の円運動を考えます。磁束密度を B B B [T]とすると, ローレンツ力の大きさは e v 0 B ev_0B e v 0 B [N] となります。円運動の運動方程式を考えると,
m v 0 2 r = e v 0 B m\dfrac = ev_0B m r v 0 2 = e v 0 B
となります。この式から円の半径 r r r は次のように表すことができます。
m v 0 r = e B r = m v 0 e B \begin m\dfrac &= eB \\ r &= \dfrac \end m r v 0 r = e B = e B m v 0
ここで, 図において △ A A ′ C \triangle \mathrm △ A A ′ C (黄色の三角形)と △ C ′ A ′ A ′ ′ \triangle \mathrm △ C ′ A ′ A ′′ (赤色の三角形)は相似より,
A A ′ A C ′ = A C ′ A ′ A ′ ′ \mathrm = \dfrac> A C ′ A A ′ = A ′ A ′′ A C ′
が成り立ちます。ここで, A ′ A ′ ′ \mathrm A ′ A ′′ ( x 1 x_1 x 1 )は円の半径 r r r に比べてとても小さいため( x 1 < < r x_1
A ′ A ′ ′ ≃ A A ′ = 2 r \mathrm\simeq \mathrm = 2r A ′ A ′′ ≃ A A ′ = 2 r
図において, A A ′ = y 1 \mathrm = y_1 A A ′ = y 1 , A C ′ = l \mathrm = l A C ′ = l であり, 上記の相似の関係は以下のように書き直すことができます。
y 1 l = l 2 r \dfrac = \dfrac l y 1 = 2 r l
r = l 2 2 y 1 r = \dfrac r = 2 y 1 l 2
ここで円運動から求めた r r r と相似から求めた r r r を統合で結ぶと,
m v e B = l 2 2 y 1 y 1 = e B l 2 2 m v 0 \begin \dfrac&= \dfrac \\ y_1 &= \dfrac \\ \end e B m v y 1 = 2 y 1 l 2 = 2 m v 0 e B l 2
となり, y 1 y_1 y 1 を求めることができました。
領域②：慣性の法則による等速直線運動ここから領域②について考え, Δ y \Delta y Δ y を求めます。領域②では電子は等速直線運動をします。
図において △ B C ′ C \triangle \mathrm △ B C ′ C (青色の三角形)と △ B Q O \triangle \mathrm △ BQO (紫色の三角形)は相似より,
C C ′ B C = O Q B O \mathrm = \dfrac> BC C C ′ = BO OQ
の関係が成り立ちます。 C C ′ = y 1 \mathrm = y_1 C C ′ = y 1 , B O = L \mathrm = L BO = L , B C = l 2 \mathrm = \dfrac BC = 2 l で書き直すと,
y 1 l 2 = Δ y L \dfrac> = \dfrac 2 l y 1 = L Δ y
が成り立ちます。よって, Δ y \Delta y Δ y は
Δ y = 2 L l ⋅ y 1 \Delta y = \dfrac \cdot y_1 Δ y = l 2 L ⋅ y 1
上で求めた y 1 y_1 y 1 を代入すると, 以下のようになります。
Δ y = 2 L l ⋅ e B l 2 2 m v 0 = e B l L m v 0 \Delta y = \dfrac\cdot \dfrac = \dfrac Δ y = l 2 L ⋅ 2 m v 0 e B l 2 = m v 0 e Bl L
左辺を比電荷 e m \dfrac m e の形を目指して式変形すると, 以下のようになります。
e m = v 0 B l L ⋅ Δ y \dfrac = \dfrac \cdot \Delta y m e = Bl L v 0 ⋅ Δ y
2式による比電荷の算出e m = v 0 2 E l L ⋅ Δ x \dfrac = \dfrac \cdot \Delta x m e = El L v 0 2 ⋅ Δ x
e m = v 0 B l L ⋅ Δ y \dfrac = \dfrac \cdot \Delta y m e = Bl L v 0 ⋅ Δ y
これらの式を統合で結び, v 0 v_0 v 0 を求めると,
v 0 2 E l L ⋅ Δ x = v 0 B l L ⋅ Δ y v 0 E ⋅ Δ x = 1 B ⋅ Δ y v 0 = E ⋅ Δ y B ⋅ Δ x \begin \dfrac \cdot \Delta x &= \dfrac \cdot \Delta y\\ \dfrac \cdot \Delta x &= \dfrac \cdot \Delta y\\ v_0 &= \dfrac \end El L v 0 2 ⋅ Δ x E v 0 ⋅ Δ x v 0 = Bl L v 0 ⋅ Δ y = B 1 ⋅ Δ y = B ⋅ Δ x E ⋅ Δ y
になります。この v 0 v_0 v 0 を e m \dfrac m e の式に代入すれば比電荷を求めることができます。電場, 磁場どちらの式でも構いません。
e m = v 0 2 E l L ⋅ Δ x = ( E ⋅ Δ y B ⋅ Δ x ) 2 E l L ⋅ Δ x = E ⋅ ( Δ y ) 2 B 2 l L Δ x \dfrac = \dfrac \cdot \Delta x = \dfrac \cdot \Delta x = \dfrac)^2> m e = El L v 0 2 ⋅ Δ x = El L ( B ⋅ Δ x E ⋅ Δ y ) 2 ⋅ Δ x = B 2 l L Δ x E ⋅ ( Δ y ) 2
e m = v 0 B l L ⋅ Δ y = E ⋅ Δ y B ⋅ Δ x B l L ⋅ Δ y = E ⋅ ( Δ y ) 2 B 2 l L Δ x \dfrac = \dfrac \cdot \Delta y = \dfrac> \cdot \Delta y =\dfrac)^2> m e = Bl L v 0 ⋅ Δ y = Bl L B ⋅ Δ x E ⋅ Δ y ⋅ Δ y = B 2 l L Δ x E ⋅ ( Δ y ) 2
右辺は電場 E E E , 磁場 B B B , 電極の幅 l l l , 電子の到達距離 L L L , 変位 Δ x , Δ y \Delta x, \Delta y Δ x , Δ y は全て測定可能な量のため比電荷 e m \dfrac m e を求めることが可能です。
電子の初速度 v 0 v_0 v 0 の求め方
上記の後半部分の磁場による電子の運動から初速度 v 0 v_0 v 0 を求める方法以外にも, v 0 v_0 v 0 を求める方法あります。それを2つ紹介します。
電場と磁場で真っすぐ電子を飛ばす電場と磁場の大きさを調整すると, 電場による力と磁場によるローレンツ力がつりあうときに 真っすぐ電子を飛ばすことができます。
このとき, 以下のようなつり合いの式から v 0 v_0 v 0 が算出できます。
e E ′ = e v 0 B ′ E ′ = v 0 B ′ v 0 = E ′ B ′ \begin eE' &= ev_0B' \\ E' &= v_0B'\\ v_0 &= \dfrac \end e E ′ E ′ v 0 = e v 0 B ′ = v 0 B ′ = B ′ E ′
電子が真っすぐ飛ぶように電場と磁場を調整できれば, 比較的に簡単な式で v 0 v_0 v 0 を求めることができます。
電子銃のエネルギーから v 0 v_0 v 0 を算出電子銃の電極間の電位差を V V V [V]とすると極板間の位置エネルギーの差は e V eV e V となります。電子の陰極における速度は 0 0 0 [m/s]で, 陽極の速度は v 0 v_0 v 0 [m/s]です。
エネルギー保存則の式をたてると, v 0 v_0 v 0 は以下のように計算できます。
1 2 m v 0 2 − 1 2 m 0 2 = e V 1 2 m v 0 2 = e V 1 2 v 0 2 = e m V e m = v 0 2 2 V \begin \dfracm v_0^2 - \dfracm 0^2 &= eV\\ \dfracm v_0^2 &= eV\\ \dfrac v_0^2 &= \dfracV\\ \dfrac &= \dfrac\\ \end 2 1 m v 0 2 − 2 1 m 0 2 2 1 m v 0 2 2 1 v 0 2 m e = e V = e V = m e V = 2 V v 0 2
このエネルギー保存則だけでは, v 0 v_0 v 0 がわかりませんが, 電場ver.の式 e m = v 0 B l L ⋅ Δ y \dfrac = \dfrac \cdot \Delta y m e = Bl L v 0 ⋅ Δ y を用いると,
v 0 2 2 V = v B l L Δ y v 0 2 V = 1 B l L Δ y v 0 = 2 V B l L Δ y \begin \dfrac &= \dfrac \Delta y\\ \dfrac &= \dfrac \Delta y \\ v_0 &= \dfrac \Delta y\\ \end 2 V v 0 2 2 V v 0 v 0 = Bl L v Δ y = Bl L 1 Δ y = Bl L 2 V Δ y
となり, v 0 v_0 v 0 を求めることができます。また, 電位差 V V V は電場 E ′ ′ E'' E ′′ と電荷 e e e を用いて, V = e E ′ ′ V=eE'' V = e E ′′ と書けるので v 0 v_0 v 0 を
v 0 = 2 e E ′ ′ B l L x v_0 = \dfracx \\ v 0 = Bl L 2 e E ′′ x
放電現象, 真空放電, 陰極線の発見, 比電荷の測定, 電子の発見。物理を歴史的に見ていくと今自明な定義/定理の奥深さがよくわかります。