動画で解説
この行列にとあるベクトル \( \vec
\) を掛けること、つまり \( A \vec
\) を求めることを考えてみましょう。\[A \vec
= \left( \begin 3 & 2 \\ 1 & 4 \end \right) \left( \begin 1 \\ 2 \end \right) = \left( \begin 7 \\ 9 \end \right) \]\[A \vec
= \left( \begin 3 & 2 \\ 1 & 4 \end \right) \left( \begin 0 \\ 1 \end \right) = \left( \begin 2 \\ 4 \end \right)\]のように、ベクトル \( \vec
\) を掛けると当然向きは変わってしまいます。
しかし、中には、\[A \vec
= \left( \begin 3 & 2 \\ 1 & 4 \end \right) \left( \begin 1 \\ 1 \end \right) = \left( \begin 5 \\ 5 \end \right) = 5 \vec
\]\[A \vec
= \left( \begin 3 & 2 \\ 1 & 4 \end \right) \left( \begin -2 \\ 1 \end \right) = \left( \begin -4 \\ 2 \end \right) = 2 \vec
\]のように、ベクトル \( \vec
\) を掛けても大きさが \( t \) 倍されるだけで 向きが変わらないようなベクトル があります。
このように、 とある行列に対して、ベクトル \( \vec \) を掛けても向きが変わらないようなベクトル \( \vec \)
また、 固有ベクトル \( \vec \) を掛けた際の大きさの倍率 \( t \)
正方行列 \( A \) について、\[A \vec
= t \vec
\]を満たす \( t \) とベクトル \( \vec
\not = \vec \) が存在するときの \( \vec \) を 固有値 、\( \vec
\) を 固有ベクトル という。
２．固有値・固有ベクトルの求め方
(1) 固有値の求め方\[ A \vec
= t \vec
\]に対し、以下のような変形を行います。\[A \vec
= t E \vec
\]\[A \vec
- t E \vec
= \vec \]\[\left( A - tE \right) \vec
= \vec\]この連立1次方程式が \( \vec = \vec \) 以外の解を持つこと
もし、 \( B = A - tE \) が正則だとします。すると、行列 \( B \) は逆行列を持つので、\[B^ B \vec
= \vec \]\[E \vec
= \vec \]\[\vec
= \vec\]となってしまい、\( \vec
= \vec \) 以外の解が得られません。
そのため、連立1次方程式が \( \vec
= \vec \) 以外の解を持つためには、\( A - tE \) が正則でない、 つまり \( | A - tE| = 0 \) となる必要があります。
行列 \( A \) に対し、\( f(t) = |A-tE| \) を 固有多項式 、\( f(t) = 0 \) を 固有方程式 と呼びます。
固有方程式を解くことで固有値を求める ことができます。
固有値の求め方 正方行列 \( A \) の固有値 \( t \) は、固有方程式\[|A - tE| = 0\]を解くことによって求められる。※固有値は重解となることもあります。 (2) 固有ベクトルの求め方固有ベクトル \( \vec
\) はそれぞれの固有値 \( t \) に対して、連立方程式\[\left( A - tE \right) \vec
= \vec\]を解き、基本解*2を求めることで求めることができます。
固有ベクトルはそれぞれの固有値に対して、 少なくとも1つ存在し、最大で重解の数だけ存在します *3。
そのため、 固有ベクトルを計算した際に1つも固有ベクトルが求められなかった場合、どこかで計算ミスをしています 。
また、固有ベクトルが \( \vec
\) のとき、\( k \) 倍された \( k \vec
\) も固有ベクトルとなります。しかし、固有ベクトルを考える際には 定数倍は無視 して考えます。
つまり、固有ベクトルは 大きさは考えず、向きだけを考えるもの だと思ってください。
例えば、\[\vec = \left( \begin 1 \\ 1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 4 \\ 4 \end \right)\]の \( \vec \) は \( \vec \) を4倍しただけなので \( \vec \), \( \vec \) は同じものと考えます。
もちろん\[\vec = \left( \begin 1 \\ 2 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 3 \\ 1 \end \right)\]のように、向きも異なっているものは違うものと考えます。
（そのため、人によって固有ベクトルの答えが若干異なる結果になることがあります。しかし、\( A \vec
= t \vec
\) を満たしていれば異なる答えが出ていても正解です。）
固有ベクトルの求め方 それぞれの固有値 \( t \) における固有ベクトル \( \vec\) は、連立1次方程式\[\left( A - tE \right) \vec
= \vec\]の基本解を求めればよい。※固有ベクトルは 最低1つ、最大で重解の数だけ存在する （それぞれの固有値における固有ベクトルは連立方程式の自由度*4の個数分存在する。もしそれぞれの固有値において固有ベクトルが1つも出てこない場合、どこかで計算ミスをしている）
例題1次の行列 \[A = \left( \begin 3 & -1 \\ 5 & -3 \end \right)\]の固有値と固有ベクトルを求めなさい。
解説1まずは固有方程式を求める。\[ \begin|A-tE| = &\left| \begin 3-t & -1 \\ 5 & -3-t \end \right|\\ = & (t-3)(t+3)+5 \\ = & t^2 - 4 \\ = & (t+2)(t-2) = 0\end \]となる。
よって固有方程式を満たす \( t \) は 2, -2 となり、これが固有値となる。
次に、固有ベクトルを求める。それぞれの固有値に対して\[\left( A - tE \right) \vec
= \vec\]を満たすような \[ \vec
= \left( \begin x \\ y \end \right) \] を求めればよい。
固有値が2のときの固有ベクトルを \( \vec \) とする。 \[ \begin(A-2E) = &\left( \begin 1 & -1 \\ 5 & -5 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & -1 \\ 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[x - y = 0\]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \end \right) = k \left( \begin 1 \\ 1 \end \right)\]となるので、\[\vec = \left( \begin 1 \\ 1 \end \right)\]となる。
固有値が-2のときの固有ベクトルを \( \vec \) とする。 \[ \begin(A-2E) = &\left( \begin 5 & -1 \\ 5 & -1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 5 & -1 \\ 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[5x - y = 0\]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \end \right) = k \left( \begin 1 \\ 5 \end \right)\]となるので、\[\vec = \left( \begin 1 \\ 5 \end \right)\]となる。
実際に先ほど求めた固有値と固有ベクトルが\[ A \vec
= t \vec
\]を満たすか計算をすると、\[A \vec = 2 \left( \begin 1 \\ 1 \end \right) = 2 \vec \]\[A \vec = -2 \left( \begin 1 \\ 5 \end \right) = 5 \vec\]となり、確かに計算結果が正しいことがわかります。（検算に使えますよ。）
例題2次の3次正方行列 \[A = \left( \begin 3 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 4 & 4 \end \right)\]の固有値と固有ベクトルを求めなさい。
解説2固有値 \( t \) を求める。\[|A - tE| = \left| \begin 3-t & -2 & -1 \\ 1 & -t & -1 \\ -2 & 4 & 4-t \end \right|\]を満たすような \( t \) を求めればよい。
しかし、3次正方行列をサラスで求めるとごちゃごちゃするので余因子展開を用いて2次正方行列にしてからサラスを適用する。\[ \begin|A - tE| = & \left| \begin 3-t & -2 & -1 \\ 1 & -t & -1 \\ -2 & 4 & 4-t \end \right|\\ = & \left| \begin 3-t_ & -2_ & -1_ \\ 1 & -t & -1 \\ -2 & 4 & 4-t \end \right|\\ = & \left| \begin 2-t & -2+t & 0 \\ 1 & -t & -1 \\ -2 & 4 & 4-t \end \right|\\ = & \left| \begin 2-t & -2+t & 0 \\ 1 & -t & -1 \\ -2 & 4 & 4-t \end \right|\\ = (2-t) & \left| \begin 2-t & -2+t & 0 \\ 1 & -t & -1 \\ -2 & 4 & 4-t \end \right|\\ = (2-t) & \left| \begin 1 & -1 & 0 \\ 1_ & -t_ & -1 \\ -2_ & 4_ & 4-t \end \right|\\ = (2-t) & \left| \begin 1 & -1 & 0 \\ 0 & -t+1 & -1 \\ 0 & 2 & 4-t \end \right|\\ = (2-t) & \left| \begin -t+1 & -1 \\ 2 & 4-t \end \right|\end \]と変形できる。また、\[\begin &\left| \begin -t+1 & -1 \\ 2 & 4-t \end \right|\\ = & (t-4)(t-1) + 2 \\ = & t^2 - 5t + 6 \\ = & (t-2)(t-3)\end \]となるので、\[|A - tE| = (2-t)(t-2)(t-3) = - (t-2)^2 (t-3) = 0\]を満たす \( t \) が固有値となり、固有値は2（2重解）と3となる。
\[ \begin(A-2E) = &\left( \begin 1 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -2 & 4 & 2 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[x-2y-z=0\]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = s \left( \begin 2 \\ 1 \\ 0 \end \right) + t \left( \begin 1 \\ 0 \\ 1 \end \right)\]となるので、固有ベクトルは2本あり、それぞれの固有ベクトル \( \vec \), \( \vec \) は、\[\vec = \left( \begin 2 \\ 1 \\ 0 \end \right) \ \ \\vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ 1 \end \right)\]となる（順不同）。
\[ \begin(A-3E) = &\left( \begin 0 & -2 & -1 \\ 1 & -3 & -1 \\ -2_ & 4_ & 1_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 0 & -2 & -1 \\ 1 & -3_ & -1_ \\ 0 & -2_ & -1_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 0 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[\left\< \begin -2y - z = 0 \\ x-y= 0 \end\right. \]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = k \left( \begin 1 \\ 1 \\ -2 \end \right)\]となるので、固有ベクトル \( \vec \) は、\[\vec = \left( \begin 1 \\ 1 \\ -2 \end \right)\]となる。
行列 \( A \) の固有値をすべて足すと、 対角成分の和（トレース）に等しくなる 。
行列 \( A \) の固有値をすべて掛けると、 行列式 \( |A| \) に等しくなる *5。
３．固有空間
固有空間を用いた表し方 \( n \) 次正方行列 \( A \) の固有値 \( t \) に対し、固有空間 \( V(t) \) は、\[V(t) = \left\ < \vec\in \mathbb^n \ \middle| \ A \vec = t \vec \right\>\]と表せる。（式だと難しそうに見えるが、実は 固有値ごとの固有ベクトルを基底でまとめて表している だけ）
例題1の固有空間 例題2の固有空間固有空間と核空間の関係 行列 \( A - tE \) が表す \( \mathbb^n \) の線形変換\( f \) とすると、\[\mathrm \ f = V(t)\]となる。つまり、固有値 \( t \) が表す固有空間と変換 \( f \) における核空間は等しくなる。
４．固有値計算のコツ
５．練習問題
練習1行列\[A = \left( \begin 4 & 1 \\ -9 & -2 \end \right)\]の固有値と固有ベクトル（固有空間の次元と基底を求めてもOK）を求めなさい。
練習2行列\[A = \left( \begin 3 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end \right)\]の固有値と固有ベクトル（固有空間の次元と基底を求めてもOK）を求めなさい。
練習3行列\[A = \left( \begin 4 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end \right)\]の固有値と固有ベクトル（固有空間の次元と基底を求めてもOK）を求めなさい。
６．練習問題の答え
解答1固有方程式は、\[\begin|A-tE| = & \left| \begin 4-t & 1 \\ -9 & -2-t \end \right|\\ = & (t+2)(t-4) + 9 \\ = & t^2 - 2t +1 \\ = & (t-1)^2 = 0\end \]より固有値は1（2重解）
固有値1に属する固有ベクトルは、\[ \begin(A-1E) = &\left( \begin 3 & 1 \\ -9 & -3 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 3 & 1 \\ 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[3x + y = 0\]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \end \right) = k \left( \begin 1 \\ -3 \end \right)\]となるので、固有ベクトルは1本あり、固有ベクトル \( \vec \) は、\[\vec = \left( \begin 1 \\ -3 \end \right)\]となる（順不同）。
解答2固有方程式は、\[ \begin|A - tE| & = \left| \begin 3-t & 4 & 1 \\ 1 & -t & 3 \\ 0 & 0 & 2-t \end \right|\\ & = (2-t) \left| \begin 3-t & 4 \\ 1 & -t \end \right|\\ & = (2-t) \left( t(t-3) - 4 \right)\\ & = (2-t) \left( t^2 - 3t - 4 \right)\\ & = (2-t) (t+1)(t-4) = 0\end\]より、固有値は4,2,-1となる。
固有値4に属する固有ベクトルは、\[ \begin(A-4E) = &\left( \begin -1 & 4 & 1 \\ 1 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin -1 & 4 & 0 \\ 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[\left\< \begin x - 4y = 0 \\ z = 0 \end\right.\]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = k \left( \begin 4 \\ 1 \\ 0 \end \right)\]となるので、固有ベクトルは1本あり、固有ベクトル \( \vec \) は、\[\vec = \left( \begin 4 \\ 1 \\ 0 \end \right)\]となる。
固有空間の次元と基底は、\[V(4) = \left\< \left( \begin 4 \\ 1 \\ 0 \end \right) \right\> \ \ \ \dim V(1) = 1 \]となる。
固有値2に属する固有ベクトルは、\[ \begin(A-2E) = &\left( \begin 1 & 4 & 1 \\ 1_ & -2_ & 3_ \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 4_ & 1_ \\ 0 & -6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 7 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[\left( \begin 1 & 7 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = \left( \begin 0 \\ 0 \\ 0 \end \right)\]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = k \left( \begin -7 \\ 1 \\ 3 \end \right)\]となるので、固有ベクトルは1本あり、固有ベクトル \( \vec \) は、\[\vec = \left( \begin -7 \\ 1 \\ 3 \end \right)\]となる。
固有空間の次元と基底は、\[V(2) = \left\< \left( \begin -7 \\ 1 \\ 3 \end \right) \right\> \ \ \ \dim V(2) = 1 \]となる。
固有値-1に属する固有ベクトルは、\[ \begin(A+E) = &\left( \begin 4 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 4 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[\left( \begin 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = \left( \begin 0 \\ 0 \\ 0 \end \right)\]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = k \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right)\]となるので、固有ベクトルは1本あり、固有ベクトル \( \vec \) は、\[\vec = \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right)\]となる。
固有空間の次元と基底は、\[V(-1) = \left\< \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \end \right) \right\> \ \ \ \dim V(-1) = 1 \]となる。
解答3固有多項式は、\[ \begin|A - tE| & = \left| \begin 4-t_ & -2_ & 1_ \\ -2 & 1-t & 2 \\ 1 & 2 & 4-t \end \right|\\ & = \left| \begin 5-t & 0 & 5-t \\ -2 & 1-t & 2 \\ 1 & 2 & 4-t \end \right|\\ & = (5-t) \left| \begin 1 & 0 & 1 \\ -2_ & 1-t & 2_ \\ 1_ & 2 & 4-t_ \end \right|\\ & = (5-t) \left| \begin 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1-t & 4 \\ 0 & 2 & 3-t \end \right|\\ & = (5-t) \left| \begin 1-t & 4 \\ 2 & 3-t \end \right|\end\]と変形できる。
ここで、\[\begin &\left| \begin 1-t & 4 \\ 2 & 3-t \end \right|\\ = & (t-3)(t-1) - 8 \\ = & t^2 - 4t - 5 \\ = & (t-5)(t+1)\end \]となるので、固有方程式は\[|A - tE| = (5-t)(t-5)(t+1) = - (t-5)^2 (t+1) = 0\]を満たす \( t \) が固有値となり、固有値は5（2重解）と-1となる。
\[ \begin(A-5E) = &\left( \begin -1 & -2 & 1 \\ -2 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[x + 2y - z = 0\]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = s \left( \begin 1 \\ 0 \\ 1 \end \right) + t \left( \begin 0 \\ 1 \\ 2 \end \right)\]となるので、固有ベクトルは2本あり、それぞれの固有ベクトル \( \vec \), \( \vec \) は、\[\vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ 1 \end \right) \ \ \\vec = \left( \begin 0 \\ 1 \\ 2 \end \right)\]となる（順不同）。
固有空間の次元と基底は、\[V(5) = \left\ \ \ \ \dim V(5) = 2 \]となる。
\[ \begin(A-5E) = &\left( \begin 5_ & -2_ & 1_ \\ -2 & 2 & 2 \\ 1_ & 2_ & 5_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 0 & 3 & 6 \\ -2 & 2_ & 2_ \\ 0 & 3 & 6 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin -2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end \]となる。\[\left\< \begin x + z = 0 \\ y+2z = 0 \end\right.\]を解くと、\[\left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = k \left( \begin 1 \\ 2 \\ -1 \end \right)\]となるので、固有ベクトルは1本あり、固有ベクトル \( \vec \)は、\[\vec = \left( \begin 1 \\ 2 \\ -1 \end \right)\]となる（順不同）。
固有空間の次元と基底は、\[V(-1) = \left\ \ \ \ \dim V(-1) = 1 \]となる。
７．さいごに
*3 : 2重解なら最大2個、3重解なら最大3個、\( n \) 重解なら最大 \( n \) 個固有ベクトルが存在します。
*5 : 固有多項式に \( t = 0 \) を入れるとわかりやすいと思います。
公開日： 2019年8月29日 更新日： 2023年10月5日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかる解析 Part11 広義積分（広義積分の基本と注意点）・優関数の原理 うさぎでもわかる解析 Part18 偏微分を用いた陰関数微分・陰関数定理 うさぎでもわかる線形代数 第20羽 2次形式 うさぎでもわかる画像処理 Part04 画像の幾何学的変換（前編） 線形変換 条件付き確率の面白さ 再現率・適合率 うさぎでもわかる解析 Part23 2重積分の基礎・積分範囲の交換 うさぎでもわかる離散数学（グラフ理論） 第10羽 一筆書きができるかの簡単な見つけ方・オイラーグラフ・ハミルトングラフ うさぎでもわかる計算機システム Part05 論理回路の基本編 [基本情報対応] うさぎでもわかるオートマトンと言語理論 第02羽 非決定性オートマトン(NFA)の書き方・決定性オートマトン(DFA)への変換 LINE Pay クレジットカード、事前案内の事前登録開始！！カテゴリー
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