ゼノンのアキレスと亀のパラドックス
アキレスはカメとの距離をどんどん縮めていきます。 アキレスはやがてカメのスタート地点 A に辿り着くはずです。しかし、カメもその間に少しは前に進んでいるはずで、このときのカメの位置を B とします。アキレスはまた走って B に達しますが、その間にカメは C に達しています。そこでまたアキレスはまた走って C に ……. あれ？ こんなことを永遠に繰り返していては、いつまでたってもアキレスはカメに追いつけませんよ。いったいどういうことなのでしょう？ これが「アキレスとカメのパラドックス」です。
白い部分がカメとの間にある距離、赤い部分はすでに縮めた距離です。 アキレスはある時点で最初に離れていた距離の半分に達するはずですね。 さらに時間が経過すると、そのまた半分の距離を縮めます。 そしてまた時間が経過すると、そのまた半分の距離を縮めて … 半分、半分、また半分 … と無限に繰り返されます。
「アキレスとカメ」は古代ギリシアのゼノンという哲学者が考案したパラドックスです。現代では数学の抽象化が進み、自然科学はその近似的モデルの構築するために数学を用いるという考え方が基本ですが、古代ギリシアでは「数学 = 自然界の法則」と考える傾向が強かったので、このパラドックスは数学と物理学の両方に対する問題提議と捉えてよいと思います。
アキレスが相対距離を 1/2, 1/4, 1/8 … と縮めていくので、
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 …
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 … = 1
これは小さな数を次々と足していって、塵も積もれば 1 となるということを表した式なのですが、この「無限に足す操作」は、あくまで距離に関する足し算であって、逆の見方をすれば、アキレスとカメの相対距離 1 を無限に切り分けたというだけのことです。これは時間とは一切関係ありません。距離が無数に分割されるからといって、その距離を通過するのに無限の時間がかかるというわけではないのです。つまり「いつまでたっても追いつけない」という言葉自体、空間に対する無限分割操作と時間の無限を混同してしまっているので、ちょっと問題提議の仕方に無理があるように思えます。
さらにもう少し細かいことを言うと、数学においては時間という概念は存在しないので、仮に自然界の距離や時間を x(t) = vt という形で投影させるにしても、数学的にいえば 2 つの実数の集合 x, t 同士を結びつけた関数でしかないということです（横軸に t, 縦軸に x をとれば直線グラフになります）。適当な t をとればカメのいる位置を追い越したところにアキレスは存在することになります。
もちろん、人間のような巨視的物体（原子の集合体）はカメを追い越します（古典力学では等速運動を x=vt という単純な式で表します）。それがなぜなのか、また、微視的世界（ミクロ系）と巨視的世界（マクロ系）の境目がどのあたりにあるのかを突き詰めると、とても難しい問題のようです。私も最近「量子力学 古典力学 適用 境目」のようなキーワードで検索して色々調べていますが、頭が混乱するばかりです。この点について詳しい方にコメントしていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
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昔、1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 … = 1を、子供にも直感的に理解してもらうために、正方形の折り紙を使い、最初に正方形を対角線で切った三角形を置き、次に残りの三角形を半分に切って置き、次に残りの・・を続けていくと、どんどん元の正方形に近付いていく、という説明を考えたことがあります。 まぁ、その程度の説明は、きっと誰かがとっくに考えているんだろうなぁと思いますが。
Blog Cat より: 面白いです！ さっそく、Excel で描いてみました。 こんな感じですかね。 こんなふうに視覚に訴えると、直感的に無限の世界に触れることができて楽しいですね。 Blog Cat より: ご指摘ありがとうございます。 いい加減な記事を書いて申し訳ありませんでした。 今、ゼノン量子効果について調べています。 近いうちに記事を修正したいと思います。 コメントをどうぞ コメントをキャンセル ゼノンのアキレスと亀のパラドックス おすすめ記事- 【Excel】円周率の近似値
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