放物線の定義・標準形・焦点・準線
定点F$(p,\ 0)$と定直線$x=-p$からの距離が等しい点の軌跡を求めよ. [-.8zh] < 放物線の定義・標準形・焦点・準線 $軌跡上の動点を(x,\ y)>とする.$ $また,\
から定直線x=-pに下ろした垂線の足をとする.$ $==x-(-p)>$ $両辺を2乗すると (x-p)²+y²=x²+2px+p²$ $整理すると を満たす.$ $このように,\ (p,\ 0)を放物線の(0,\ p)$,\ $x²\ と考えると単なる2次関数に他ならない.$ 軌跡の問題はほぼパターン化されている. まずすればよい. 両辺が正なので2乗しても同値である.\ 最後,\ 逆を確認しておく(除外点が存在しないことを示す). 一般に,\ 式中のxとyを入れ替えると図形的にはになる. よって,\ y²=4pxとx²=4pyは直線y=xに関して対称な関係にある. 中学生の頃から慣れ親しんできた放物線が,\ 軌跡という観点から新たに定義できたわけである. y²=4(-12)x> より $ $x²=42 y> より $ $(y-1)²=41(x+2)> より $ 標準形y²=4pxの形に無理矢理にでも変形することでpがわかり,\ 焦点と準線がわかる. y²=4pxとy²=-2xを見比べ,\ 4p=-2からpを求めてもよい. 放物線は\ よって,\ 頂点の原点以外に簡単な1点をとる. ついでに対称点もとると図示しやすい.\ 焦点と準線が問われた場合はそれも図示する. 標準形x²=4pyの形に変形する.\ 結局は2次関数\ y=18x²\ を描くだけである. 一般に,\ x→x-a,\ y→y-b\ とすると,\ x軸方向にa,\ y軸方向にb平行移動したグラフになる. \ の形に変形し,\ y²=4pxからの平行移動量を確認する. 本問は,\ y²=4xのグラフをx軸方向に-2,\ y軸方向に1平行移動したものとわかる. 頂点(0,\ 0),\ 焦点(1,\ 0),\ 準線x=-1のy²=4xを(-2,\ 1)平行移動したグラフを描く. (y-b)²=4p(x-a)への変形は要はだが,\ 慣れないと難しく感じるかも知れない. その場合は次のように考えて図示すればよい.\ 普段のx軸とy軸を入れ替えただけである. x=14y²+12y-74=14(y-1)²-2 より 頂点(y,\ x)=(1,\ -2)の放物線
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