線形写像の定義・性質と具体例8つ
f(k\boldsymbol + l \boldsymbol) = k f(\boldsymbol) + l f(\boldsymbol ) で k = l = 1 とおくと f(\boldsymbol+ \boldsymbol) = f(\boldsymbol) + f(\boldsymbol) が従い， l = 0 とおくと f(k\boldsymbol) = kf(\boldsymbol) が従う。
証明終
線形写像の具体例8つ
以下では，特別言及しない限り， \mathbb 上ベクトル空間を考え， k, l \in \mathbb とします。
例1.
a \in \mathbb とする。 \color f\colon \mathbb \to \mathbb を \color f(x) = ax とすると，これは線形写像である。
\mathbb を \mathbb 上ベクトル空間と考えています。
線形写像であることは， x, y, k \in \mathbb に対し，
\begin f(x) + f(y) = ax + ay = a(x+y) = f(x+y), \\ f(kx) = a(kx) = k(ax) = kf(x) \end
であることからわかります。 線形写像とは， f(x) = ax のような，「1次の変換」の一般化 と思えます。次の例を見てください。
例2.
f\colon \mathbb \to \mathbb を f(x) = x^2 とすると，これは線形写像ではない。
実際， f(1+1) = 4 \ne 2 = f(1) + f(1) なので，線形写像の性質が成立していません。
f(x) = x^2 は「2次の変換」と言えます。線形写像はあくまで「1次の変換」であり，「2次の変換」ではありません。
例3.
f\colon \mathbb \to \mathbb を f(x) = x + 1 とすると，これは線形写像ではない。
線形写像ならば f(0) = 0 でしたから，これは線形写像ではありません。定数項があってはダメです。
例4.
\color f\colon \mathbb \to \mathbb を \color f(x,y,z) = x + y + z と定めると，これは線形写像である。
例5.
f\colon \mathbb \to \mathbb を f(x,y,z) = |x| + |y| + |z| と定めると，これは線形写像ではない。
実際， f(1,0,0) + f(-1,0,0) = 2 \ne 0 = f(0,0,0) なので，線形写像ではありません。
例6.
\displaystyle \color \frac\colon C^1(\mathbb) \to C(\mathbb) を， \color f \mapsto f^\prime と定めると，これは線形写像である。
ただし， C^1(\mathbb) は C^1 級関数（微分可能かつ微分が連続な関数）全体の集合， C(\mathbb) は連続関数全体の集合を表す（→ C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つ）。
微分を返す写像は，線形写像 というわけです。実際， (kf+lg)^ = k f^\prime + l g^\prime なので，線形性を満たしています。
例7.
\color f\colon C[0, 1] \to \mathbb を， \color f(x) = \int_0^1 x(t) \, dt と定めると，これは線形写像である。
積分を返す写像は，線形写像 というわけです。実際， \int_0^1 (kx(t) + l y(t)) \, dt = k \int_0^1 x(t) \, dt + l \int_0^1 y(t) \, dt であることからわかります。
例8.
確率変数 X に対し，その期待値を返す関数 \colorE \colon X \mapsto E[X] は線形写像である。
期待値を返す写像は，線形写像 というわけです。実際， E[kX+lY] = k E[X] + l E[Y] なので，線形写像です。
線形写像の性質
線形写像の基本的な性質定理（線形写像の性質）
V, W をベクトル空間， f\colon V \to W を線形写像とする。このとき，
- f(\boldsymbol) = \boldsymbol.
また，さらに X をベクトル空間， g\colon W \to X を線形写像とすると，
- g\circ f \colon V \to X も線形写像である。
証明
( f(\boldsymbol) = \boldsymbol について)
f(k\boldsymbol) = kf(\boldsymbol) で， k = 0 とすれば従う。
( g\circ f が線形写像であることについて)
\begin &g\circ f(k\boldsymbol + l \boldsymbol) \\ & = g(kf(\boldsymbol )+ l f(\boldsymbol) \\ &= kg(f(\boldsymbol)) + lg(f(\boldsymbol)) \\ &= k \, g\circ f(\boldsymbol) + l \, g\circ f(\boldsymbol) \end
よって g \circ f は線形写像である。
証明終
線形写像のその他の性質定理（線形写像の性質2）
V, W をベクトル空間， f\colon V \to W を線形写像とする。このとき，
- \mathrm \, f = f(V)= \ は W の部分ベクトル空間。
- \ker f = \ は V の部分ベクトル空間。
- f が単射である必要十分条件は \ker f = \ となることである。
1-2.の証明については，以下で解説しているため，参照してください。
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mathlandscape.com線形同型写像
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