上三角行列と下三角行列の意味と6つの定理

( a 11 a 12 0 a 22 ) ( b 11 b 12 0 b 22 ) = ( a 11 b 11 a 11 b 12 + a 12 b 22 0 a 22 b 22 ) \begina_&a_\\0&a_\end\beginb_&b_\\0&b_\end=\begina_b_&a_b_+a_b_\\0&a_b_\end ( a 11 0 a 12 a 22 ) ( b 11 0 b 12 b 22 ) = ( a 11 b 11 0 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 22 b 22 )

特に，対角成分は簡単に計算できます。つまり，積の i i ii ii 成分はもともとの i i ii ii 成分の積です。

（正則な）上三角行列の逆行列は上三角行列
（正則な）下三角行列の逆行列は下三角行列

( a 11 a 12 0 a 22 ) \begina_&a_\\0&a_\end ( a 11 0 a 12 a 22 ) の逆行列は 1 a 11 a 22 ( a 22 − a 12 0 a 11 ) \dfrac\begina_&-a_\\0&a_\end a 11 a 22 1 ( a 22 0 − a 12 a 11 )

さらに，上三角行列 U = ( u i j ) U=(u_) U = ( u ij ) の逆行列の i i ii ii 成分は 1 u i i \dfrac> u ii 1 になります。対角成分は逆数になるというわけです。下三角行列でも同様です。

定理5（ユニタリ三角化）

任意の正方行列 A A A に対して， A = U − 1 R U A=U^RU A = U − 1 R U

となるユニタリ行列 U U U と上三角行列 R R R が存在する。

正方行列 A A A について，

A = L U A=LU A = LU となる下三角行列 L L L と上三角行列 U U U が存在する ⟺ \iff ⟺ A A A のすべての首座小行列式が 0 0 0 でない

ただし，首座小行列式とは，左上の i × i i\times i i × i 部分行列（上から i i i 行，左から i i i 列を取り出した行列）の行列式です。

U U U という記号は上三角行列でもユニタリ行列でも使いたいので少し困ります。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

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