うさぎでもわかる線形代数 第06羽 1次独立・1次従属
次のベクトル \( \vec \) を3つのベクトル \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) の1次結合で表しなさい。\[ \vec = \left( \begin 1 \\ 1 \\ -2 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 3 \\ 3 \\ 4 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin -1 \\ -2 \\ -1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 4 \\ 1 \\ 3 \end \right) \ \ \ \]
解説1\( \vec \) を \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) の一次結合で表すためには、\[ \vec = c_1 \vec + c_2 \vec + c_3 \vec \] となる \( c_1 \), \( c_2 \), \( c_3 \) を求めればよい。これは、\[\left\< \begin \ \ \ \ \ c_1 + 3 c_2 - \ \ c_3 = 4 \\ \ \ \ \ \ c_1 + 3 c_2 - 2 c_3 = 1 \\-2 c_1 + 4 c_2 - \ \ c_3 = 3 \end\right. \]の連立方程式を解くのと同じ問題となる。
つまり、\[ \left( \begin 1 & 3 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \\ -2 & 4 & -1 \end \right) \left( \begin c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end \right) = \left( \begin 4 \\ 1 \\ 3 \end \right) \]を解けばよい。
拡大係数行列を用いて解くと、\[ \begin &\left( \begin 1 & 3 & -1 & 4 \\ 1_ & 3_ & -2_ & 1_ \\ -2_ & 4_ & -1_ & 3_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 3 & -1_ & 4_ \\ 0 & 0 & -1_ & -3_ \\ 0 & 10 & -3_ & 11_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 3_ & 0 & 7_ \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 10_ & 0 & 20_ \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end \right) \\ \to \ &\left( \begin 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end \right) \end \]と変形できるので、\[\vec = \vec + 2 \vec + 3 \vec\]となる。
２．1次独立・1次従属
\( n \) 本のベクトルの組 \( \vec, \vec, \cdots, \vec \) が\[c_1 \vec + c_2 \vec + \cdots + c_n \vec = \vec\]を満たす \( c_1, c_2 , \cdots , c_n \) が \[ c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 \]しかない（すべてが0のとき以外成立しない）とき、ベクトルの組は1次独立（線形独立）であるといいます。
逆に、\( c_1, c_2 , \cdots , c_n \) のうち、1つでも0でないような \( c_1, c_2 , \cdots , c_n \) が存在する（1次独立でない）とき、ベクトルの組は1次従属（線形従属）であるといいます。
1次従属については、ベクトルの組 \( \vec, \vec, \cdots, \vec \) のうちの1つのベクトルを他のベクトルの組で表すことができたら*11次従属ということができる、と言い換えることができます。
1次独立・1次従属の定義\( n \) 本のベクトルの組 \( \vec, \vec, \cdots, \vec \) があるとする。\[c_1 \vec + c_2 \vec + \cdots + c_n \vec = \vec\]を満たす \( c_1, c_2 , \cdots , c_n \) が \[ c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 \]しかない、 つまり全変数が0のときしか成立しないとき 、1次独立という。
逆に \[ c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 \] 以外の場合でも成立する、つまり 1つでも0でないような \( c_1, c_2 , \cdots , c_n \) が存在する とき、1次従属という。
2次元ベクトル（平面ベクトル）の場合1次独立（線形独立）の場合、2つのベクトル \( \vec \), \( \vec \) を用いて任意の平面ベクトル \[ \vec = s \vec + t \vec \]を構成することができます（それぞれの平面ベクトルに対し、\( s,t \) は1通りのみ存在）。
しかし、1次従属（線形従属）の場合、\( \vec = s \vec \) となる実数 \( s \) が存在するため、\( \vec \), \( \vec \) は平行となります。
3次元ベクトル（空間ベクトル）の場合1次独立（線形独立）の場合、2つのベクトル \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) を用いて任意の空間ベクトル \[ \vec = s \vec + t \vec + u \vec \]を構成することができます（それぞれの空間ベクトルに対し、\( s,t,u \) は1通りのみ存在）。
しかし、1次従属（線形従属）の場合、\( \vec = s \vec + t \vec \) となる実数 \( s,t \) が存在するため、空間ベクトルを構成することができず、平面ベクトル、もしくはベクトルの組が互いに平行となります。
例題23つのベクトルの組 \[ \vec = \left( \begin 3 \\ 1 \\ 2 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 4 \\ 3 \\ 1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 5 \\ 2 \\ 3 \end \right) \ \ \ \]は1次独立、1次従属のどちらか。
解説2\[ c_1 \vec + c_2 \vec + c_3 \vec = \vec \]を満たす \( c_1 \), \( c_2 \), \( c_3 \) はすべて0以外存在しないか、1つでも0でないような組み合わせが存在するかを調べる。
これは、\[\left\< \begin 3 c_1 + 4 c_2 + 5 c_3 = 0 \\ \ \ c_1 + 3 c_2 + 2 c_3 = 0 \\2 c_1 + 1 c_2 + 3 c_3 = 0 \end\right. \]の連立方程式を解くのと同じ問題となる。
つまり、\[ \left( \begin 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end \right) \left( \begin c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end \right) = \left( \begin 0 \\ 0 \\ 0 \end \right) \]を解けばよい。\[ \begin &\left( \begin 3_ & 4_ & 5_ \\ 1 & 3 & 2 \\ 2_ & 1_ & 3_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & -5 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & -5_ & -1_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & -5_ & -1_ \\ 1 & 3_ & 2_ \\ 0 & -5_ & -1_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & 5 & 1 \\ 1 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & -7 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end \]となる。つまり、\[\left\< \begin c_1 - 7c_2 = 0 \\ 5c_2 + c_3 \end\right. \]と変形できる。この式を満たす \( c_1 \), \( c_2 \), \( c_3 \) は例えば \( c_1 = 7 \), \( c_2 = 1 \), \( c_3 = -5 \) がある。つまり、\[ 7 \vec + \vec - 5 \vec = \vec \]という関係式が得られるため、1次従属である。
（実際に答案を書く時はいきなり係数行列 \[ A = \left( \begin 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end \right) \]を掃き出しを行ってよい。）
列ベクトルを順番に並べて作成した行列 \( A \) の行基本変形の過程を見てみましょう。
つまり、 行基本変形を行ってもベクトル間の関係式は保存される ことがわかります。
例題2の自明でない関係式の作成法の別解\[ \begin &\left( \begin 3_ & 4_ & 5_ \\ 1 & 3 & 2 \\ 2_ & 1_ & 3_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & -5 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & -5_ & -1_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & -5_ & -1_ \\ 1 & 3_ & 2_ \\ 0 & -5_ & -1_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & 5 & 1 \\ 1 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & -7 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\end \]と変形できる。ここで行基本変形後のベクトルをそれぞれ\[ \vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin -7 \\ 5 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 0 \\ 1 \\ 0 \end \right) \ \ \ \]とすると、\[ \vec = - 7 \vec + 5 \vec \]が成立する。
行基本変形を施してもベクトル間の関係式は保存されるので、\[\vec = - 7 \vec + 5 \vec \\ - 7 \vec - \vec + 5 \vec = \vec \]の関係式が成り立ち、1次従属であることがわかる。
1次従属・1次独立の判定法\( n \) 本の列ベクトル \( \vec \), \( \vec \), … , \( \vec \) を並べた行列を\[ A = \left( \vec, \vec, \cdots, \vec\right) \]とする。
\( \mathrm \ A = n \) のとき → 1次独立（このときは自明な解（全変数 = 0）のみ存在する。）
\( \mathrm \ A \lt n \) のとき → 1次従属（自明な解以外も存在する。）
例題3例題2と同じ3つのベクトルの組 \[ \vec = \left( \begin 3 \\ 1 \\ 2 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 4 \\ 3 \\ 1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 5 \\ 2 \\ 3 \end \right) \ \ \ \]は1次独立、1次従属のどちらかを行列の階数を用いて判定しなさい。
解説3行列 \( A \) を、\[A = \left( \vec, \vec, \vec \right) = \left( \begin 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end \right)\]とすると、\[ \begin &\left( \begin 3_ & 4_ & 5_ \\ 1 & 3 & 2 \\ 2_ & 1_ & 3_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & -5 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & -5_ & -1_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & -5 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \end \]となる。
さらに、行列 \( A \) が正方行列の場合は 行列式を用いて判定することもできます 。
1次従属・1次独立の判定法\( n \) 本の列ベクトル \( \vec \), \( \vec \), … , \( \vec \) を並べた行列を\[ A = \left( \vec, \vec, \cdots, \vec \right) \] が正方行列のとき、
\( |A| \not = 0 \) のとき → 1次独立（正則ではないのと自明な解（全変数=0）のみ存在するのは同じ）
\( |A| = 0 \) のとき → 1次従属（自明な解以外も存在する。）
例題4例題2と同じ3つのベクトルの組 \[ \vec = \left( \begin 3 \\ 1 \\ 2 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 4 \\ 3 \\ 1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 5 \\ 2 \\ 3 \end \right) \ \ \ \]は1次独立、1次従属のどちらかを行列式を用いて判定しなさい。
解説4行列 \( A \) を、\[A = \left( \vec, \vec, \vec \right) = \left( \begin 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end \right)\]とすると、\[\begin |A| = &\left| \begin 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end \right|\\ = & 27 + 16 + 5 - 30 - 12 - 6\\ = & 48 - 48 \\ = & 0\end \]となるので係数行列は正則でない。
1次独立な組の線形結合ベクトル \( \vec \) が線形独立なベクトルの組 \( \vec \), \( \vec \), … , \( \vec \) で表されるとき、 その表し方は1つだけ存在する 。
1次独立の組に1つベクトルを加えて1次従属になる場合1次独立なベクトルの組 \( \vec \), \( \vec \), … , \( \vec \) に1つベクトル \( \vec \) を加えるとベクトルの組が線形従属となるとき、\( \vec \) は \( \vec \), \( \vec \), … , \( \vec \) の1次結合で表せる。
つまり、\[\vec = c_1 \vec + c_2 \vec + \cdots + c_n \vec\]となる \( c_1 \), \( c_2 \), …, \( c_n \) が存在する。
３．1次独立なベクトルの最大数・最大組
１次独立なベクトルの最大数・最大組\( n \) 本の列ベクトル \( \vec \), \( \vec \), … , \( \vec \) を並べた行列を\[ A = \left( \vec, \vec, \cdots, \vec\right) \]とし、行列 \( A \) を行基本変形して作成した行列 \( B \) からできる列ベクトルを \[ B = \left( \vec, \vec, \cdots, \vec\right) \] とする。
(1) 1次独立なベクトルの 最大数は変化しない 。また、1次独立なベクトルの最大数は \( \mathrm \ A \) で表される。
(2) 1次独立なベクトルの 最大組も変化しない 。（例：\( \vec \), \( \vec \) が最大組なら \( \vec \), \( \vec \) も最大組である。）
例題5つぎに与えられる4つのベクトル \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) の1次独立なベクトルの最大数、最大組を求めなさい。\[\vec = \left( \begin 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ 3 \\ 0 \\ 7 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ 1 \\ -3 \end \right) \]
解説5行基本変形を行ってもベクトル同士に並ぶベクトル間の関係式が変わらないことを利用します。行列 \( A \) を \[ A = \left( \vec, \vec, \vec, \vec \right) = \left( \begin 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 7 & -3 \end \right) \]とします。
行基本変形を行うと、\[\begin &\left( \begin 2_ & 1 & 1 & 1_ \\ 1_ & 1 & 3 & 0_ \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 7 & -3 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 7 & -3 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1_ & 3_ & -1_ \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 3_ & 7_ & -3_ \end \right)\\ \to \ & \left( \begin 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 4_ & 0 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2_ & 0 \\ 0 & 1 & 1_ & -1 \\ 0 & 0 & 4_ & 0 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \end \]と変形できる。
行列 \( A \) の階数が3なので、1次独立なベクトルの最大数が3であることがわかります。
ここで行基本変形後の行列 \( B \) からなるベクトルを\[B = \left( \vec, \vec, \vec, \vec \right)\]とすると、\[\vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end \right) \] となります。
\( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) の組は1次独立であることがわかりますね。しかし、\( \vec \) は、\[\vec = \vec - \vec\]という１次関係がありますね。なので、\[\vec = \vec - \vec\]という１次関係もあり、\( \vec \) を加えてしまうと1次従属となってしまいます。よって１次独立なベクトルの最大数は確かに3つあることがわかりますね。
最大組を選ぶ際には、わざわざ1次関係を調べなくても、 行基本変形後の行列に注目するだけ で選ぶことができます。
行列を行基本変形した際の 下の0の数に注目 し、場合分けを行います。
４．練習問題
練習1(2) \[ \vec = \left( \begin 1 \\ 2 \\ 3 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin -1 \\ 1 \\ 3 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 6 \\ 3 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ -1 \end \right) \ \ \ \]
練習2つぎの3本の3次元ベクトルの組が１次従属となるような \( x \) の値を求めなさい。\[ \vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ 1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ 1 \\ x \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 2 \\ 1 \\ -1 \end \right) \ \ \ \]
練習3つぎの5本の4次元ベクトルの組 \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) の線形独立なベクトルの最大数、最大組を求めなさい。
さらに、他のベクトルを最大組の1次結合で表しなさい。\[\vec = \left( \begin 0 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin -1 \\ 1 \\ -4 \\ -2 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 0 \\ 7 \\ -4 \\ -1 \end \right) \ \ \\vec = \left( \begin 2 \\ 3 \\ -3 \\ -1 \end \right) \]
５．練習問題の答え
解答1行列 \( A \) を\[ A = \left( \vec, \vec, \vec\right) = \left( \begin 1 & -2 & 4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end \right) \]とします。
パターン1 行列の階数で判定する方法
自明でない関係式を1つ答えるような問題では、行基本変形をして求めるのが確実。行基本変形を行うことで関係式を見つけやすくなる。\[\begin &\left( \begin 1 & -2 & 4 \\ -1_ & 1_ & 2_ \\ 2_ & 0_ & -1_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & -2 & 4 \\ 0 & -1 & 6 \\ 0 & 4_ & -9_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & -2 & 4 \\ 0 & -1 & 6 \\ 0 & 0 & 15 \end \right) \end \]と変形できるので、行列 \( A \) の階数は3*2。
ベクトルの本数は3本に対し、行列 \( A \) の階数も3なので、1次独立である。
パターン2 行列式で判別する方法
行列 \( A \) の行列式は、\[\begin |A| = &\left| \begin 1 & -2 & 4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end \right|\\ = & -1 - 8 + 0 - (8 - 2 - 0)\\ = & -9 - 6\\ = & -15 \not = 0\end \]となるので行列 \( A \) は正則。
(2) \[ \vec = \left( \begin 1 \\ 2 \\ 3 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin -1 \\ 1 \\ 3 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 6 \\ 3 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ -1 \end \right) \ \ \ \]
行列 \( A \) を\[ A = \left( \vec, \vec, \vec, \vec \right) = \left( \begin 1 & -1 & 6 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & -1 \end \right) \]とする。\[\begin &\left( \begin 1 & -1 & 6 & 1 \\ 2_ & 1_ & 3_ & 0_ \\ 3_ & 3_ & 0_ & -1_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1_ & -1_ & 6_ & 1_ \\ 0 & 3 & -9 & -2 \\ 0 & 6_ & -18_ & -4_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 2 & -2_ & 12_ & 2_ \\ 0 & 3 & -9 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 2 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -9 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\end\]と変形できるので、行列 \( A \) の階数は2。ベクトルの本数は4なので1次従属である。
1次関係式は行基本変形後の行列からできるベクトルを \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) とすると、\[ \vec = \left( \begin 2 \\ 0 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 1 \\ 3 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 3 \\ -9 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 0 \\ -2 \\ 0 \end \right) \ \ \ \]である。よって関係式として例えば\[\vec - 3\vec = 2 \vec \\3 \vec + 9 \vec = 2\vec\]が挙げられる（どちらでもOK）。
解答2行列 \( A \) を\[ A = \left( \vec, \vec, \vec\right) = \left( \begin 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & x & -1 \end \right) \]とします。
パターン1 行列式を使う方法
1次従属になるためには行列 \( A \) の行列式が0になればよい*3。\[\begin |A| = &\left| \begin 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & x & -1 \end \right|\\ = & -1 + 1 - (2 + x)\\ = & -2 - x = 0\end \]となればいいので、\( x = -2 \) のとき1次従属となる。
パターン2 行基本変形で階数を求める
\[\begin &\left( \begin 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1_ & x_ & -1_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & x-1_ & -3_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & x+2 & 0 \end \right)\end \]と変形できる。
解答3行列 \( A \) を\[ A = \left( \vec, \vec, \vec\right) = \left( \begin 0 & 1 & -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 7 & 3 \\ 1 & -2 & -4 & -4 & -3 \\ 1 & -1 & -2 & -1 & -1 \end \right) \]とする。\[\begin &\left( \begin 0 & 1 & -1 & 0 & 2 \\ 3_ & 0_ & 1_ & 7_ & 3_ \\ 1_ & -2_ & -4_ & -4_ & -3_ \\ 1 & -1 & -2 & -1 & -1 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 3_ & 7_ & 10 & 6_ \\ 0 & -1_ & -2_ & -3 & -2_ \\ 1 & -1_ & -2_ & -1 & -1_ \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 0 & 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 10_ & 10_ & 0 \\ 0 & 0 & -3_ & -3_ & 0 \\ 1 & 0 & -3 & -1 & 1 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 0 & -3_ & -1_ & 1 \\ 0 & 1 & -1_ & 0_ & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \\ \to \ & \left( \begin 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \end\]と変形できる。
行列 \( A \) の階数は3なので、1次独立なベクトルの最大数は3となる。
ここで行基本変形後の行列 \( B \) からなるベクトルを\[B = \left( \vec, \vec, \vec, \vec , \vec \right)\]とすると、\[\vec = \left( \begin 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end \right) \ \ \ \vec = \left( \begin 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end \right) \ \ \\vec = \left( \begin 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end \right) \] となります。
ここで、\[ \vec = 2 \vec + \vec + \vec \\ \vec = \vec + 2 \vec \]という関係式が成り立つので、\( \vec \), \( \vec \) を \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) の1次結合で表すと、\[ \vec = 2 \vec + \vec + \vec \\ \vec = \vec + 2 \vec \]となる。
今回の場合は、このように場合分けができるので、最大組は \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) であることがわかります。（グループごとに異なるベクトルを選んでいればOKなので、最大組を \( \vec \), \( \vec \), \( \vec \) などとするのもOK）
６．さいごに
*1 : たとえば、\[\vec = 5 \vec + 3 \vec\]のような表し方である。この場合、\[ 5 \vec - \vec + 3 \vec = \vec \] と変形すれば定義から1次従属ということができる。
*3 : 逆に1次独立になるためには行列 \( A \) の行列式が0以外( \( |A| \not = 0 \) )になればよい。
公開日： 2019年8月13日 更新日： 2019年8月13日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかる計算機システム（基本情報対応） Part18 プロセスの3状態・スケジューリングアルゴリズム 4時間で復習！ 1年後期線形代数総まとめ 前編 うさぎでもわかる離散数学（グラフ理論） 第18羽 平面グラフ・平面的グラフ うさぎでもわかる解析 Part1 ロピタルの定理 うさぎでもわかる線形代数 応用編第3羽 pノルム (Lpノルム） うさぎでもわかる線形代数 応用編第6羽 シルベスターの判定法（正定値・半正定値の判定） 【基本情報対策】うさぎでもわかるデータベース 第02羽 関係演算 うさぎでもわかる微分方程式 Part14 ラプラス変換のいろは 【極限の裏技】マクローリン展開を用いた極限の算出法 うさぎでもわかる線形代数 第07羽 基底をジュースで考えよう！＋基底の交換カテゴリー
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