斜めの楕円の方程式（特に45度回転）
逆に θ \theta θ 回転させた点を ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) とすると， x + y i = ( X + Y i ) ( cos θ − i sin θ ) x + yi = (X+ Yi)(\cos \theta - i \sin \theta) x + y i = ( X + Yi ) ( cos θ − i sin θ ) となる。計算すると x + y i = ( X + Y i ) ( cos θ − i sin θ ) = X cos θ − i X sin θ + i Y cos θ + Y sin θ = ( X cos θ + Y sin θ ) + i ( − X sin θ + Y cos θ ) \begin x + yi &= (X + Yi)(\cos \theta - i\sin \theta)\\ &= X \cos \theta - i X \sin \theta + i Y \cos \theta + Y \sin \theta \\ &= (X \cos \theta + Y \sin \theta) + i (-X\sin \theta + Y \cos \theta) \end x + y i = ( X + Yi ) ( cos θ − i sin θ ) = X cos θ − i X sin θ + iY cos θ + Y sin θ = ( X cos θ + Y sin θ ) + i ( − X sin θ + Y cos θ ) となるため， x = X cos θ + Y sin θ x = X \cos \theta + Y \sin \theta x = X cos θ + Y sin θ ， y = − X sin θ + Y cos θ y = -X\sin \theta + Y \cos \theta y = − X sin θ + Y cos θ となる。
行列を用いた計算( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) \begin \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) を掛けることによって点の回転を計算できます。→ 一次変換の意味と重要な5つの例（折り返し・回転・対称移動）
( x , y ) (x,y) ( x , y ) を θ \theta θ 回転させた点を ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) とおく。
( x y ) = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) ( X Y ) = ( X cos θ + Y sin θ − X sin θ + Y cos θ ) \begin \begin x\\ y \end &= \begin \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end \begin X\\ Y \end\\ &= \begin X \cos \theta + Y \sin \theta\\ -X\sin \theta + Y \cos \theta \end \end ( x y ) = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( X Y ) = ( X cos θ + Y sin θ − X sin θ + Y cos θ )
よって， x = X cos θ + Y sin θ x = X \cos \theta + Y \sin \theta x = X cos θ + Y sin θ ， y = − X sin θ + Y cos θ y = -X\sin \theta + Y \cos \theta y = − X sin θ + Y cos θ となる。
2の証明（大学数学を使う）P = ( A B B C ) P=\begin A&B\\B&C\end P = ( A B B C ) と定義すると， A x 2 + 2 B x y + C y 2 = 1 Ax^2+2Bxy+Cy^2=1 A x 2 + 2 B x y + C y 2 = 1 という方程式は， ( x y ) P ( x y ) = 1 (x\:\:\:y)\:P\beginx\\y\end=1 ( x y ) P ( x y ) = 1 と書ける（二次形式の行列表現）。
ここで，条件より P P P は正定値行列なので，ある直交行列（回転行列） U U U を用いて U P U ⊤ = ( λ 1 0 0 λ 2 ) UPU^=\begin\lambda_1& 0\\0&\lambda_2\end U P U ⊤ = ( λ 1 0 0 λ 2 ) ( λ 1 > 0 , λ 2 > 0 \lambda_1 > 0,\lambda_2 > 0 λ 1 > 0 , λ 2 > 0 )と対角化できる。
( x y ) U ⊤ ( λ 1 0 0 λ 2 ) U ( x y ) = 1 (x\:\:\:y)\:U^\begin\lambda_1& 0\\0&\lambda_2\endU\beginx\\y\end=1 ( x y ) U ⊤ ( λ 1 0 0 λ 2 ) U ( x y ) = 1 となる。
これは， U U U による回転で λ 1 X 2 + λ 2 Y 2 = 1 \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2=1 λ 1 X 2 + λ 2 Y 2 = 1 に移ることを表している。つまり，いつもの楕円を原点中心に回転させたものである。
A = C ⟺ A=C\iff A = C ⟺ いつもの楕円を 4 5 ∘ 45^ 4 5 ∘ 回転させたもの
いつもの楕円を 4 5 ∘ 45^ 4 5 ∘ 回転させたもの ⟺ \iff ⟺ y = x y=x y = x に関して折り返しても図形は変わらない
- A = C A=C A = C のとき， x x x と y y y に関して対称な式となり， y = x y=x y = x に関して折り返しても図形は変わらない。
- A x 2 + 2 B x y + C y 2 = 1 Ax^2+2Bxy+Cy^2=1 A x 2 + 2 B x y + C y 2 = 1 は ( ± 1 A , 0 ) , ( 0 , ± 1 C ) \left( \pm\dfrac , 0 \right) ,\left( 0 , \pm\dfrac> \right) ( ± A 1 , 0 ) , ( 0 , ± C 1 ) を通るので， y = x y=x y = x に関して折り返しても図形が変わらないとき， A = C A=C A = C が必要である。
x 2 − x y + y 2 = 1 x^2-xy+y^2=1 x 2 − x y + y 2 = 1 はいつもの楕円を45度回転した図形である（上の図の赤線の図形）。
東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る