TikZ：高校数学：数IIIグラフ：アステロイド曲線とその性質
と表せる。図形的な意味は, アステロイド曲線とは, 半径 の円(大円)の内部にある半径 の円(小円)が, この円の内側に接しながら滑ることなく回転するとき, この小円上の1点(定点：図中青色)の描く軌跡として得られる曲線である。ちなみに, 半径 の大円の円周の の弧の長さと, 半径 の小円の円周はともに で一致します。このことから, 小円は大円の の弧の長さの上でちょうど1回転することになる。したがって, 下図において, と の長さが等しいことから, の中心角を とすると, の中心角は となる。
グラフを描いてみる
より, 符号は の符号の逆になる(マイナスが付いているため)。 を で微分すると,
より, 符号は の符号で決まる。これより,
に分けて考えなくてはならない。 のとき, より, が増加すると, は減少し, は増加する。 のとき, より, が増加すると, は減少し, は減少する。 のとき, より, が増加すると, は増加し, は減少する。 のとき, より, が増加すると, は増加し, は増加する。また,
となるので, グラフは 軸対称である。
となるので, グラフは 軸対称でもある。 の他に, の点などを参考にして, グラフを描くと以下のようになる。
弧の長さを求める
求める弧の長さ は の範囲 の長さを求めて4倍すればよい。 , である。 したがって, 次のようになる。
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